在垂直于目标点的 3D 线上找到交点

Question

我有一条线和一个点，如果我要从该点与另一点的交点画一条线，我想在该线上找到一个 90 度或垂直的点 (x,y,z)。

到目前为止，我可以用这段代码创建一条线，我还有另一个代码可以计算三点之间的角度，但这在这里并不适用：

a = [1 1 2]; %line
b = [20 28 90]; % line

c = [50 30 67]; %point 

ab = b - a;


n = max(abs(ab)) + 1;

s = repmat(linspace(0, 1, n)', 1, 3);
for d = 1:3
    s(:, d) = s(:, d) * ab(d) + a(d);
end


s = round(s);


Z = 100; 
N = 100;
X = zeros(N, N, Z);

X(sub2ind(size(X), s(:, 1), s(:, 2), s(:, 3))) = 1;


x = c(:,1);


clf

plot3(s(:, 1), s(:, 2), s(:, 3), 'r.-')


axis(N * [0 1 0 1 0 1])
grid on

Answer 1

这需要一些数学知识来分析确定。通过“90 度”，我假设您想在这条 3D 线上找到与这条线垂直的点，如果您从这个交点延伸一条线到所需的观点。

我假设 a 和 b 这两个点表示 3D space 中的坐标，其中一条线可以连接它们并且 c 是点兴趣。这是我正在谈论的更好的图表：

^{来源：MathWorld}

在您的例子中，x1 和 x2 在您的代码中表示 a 和 b，x0 表示 c。如果从交点延伸一条线到点 c，距离 d 将是允许该点垂直于这条线的直线距离。

您可以定义一个参数方程来描述 x1 和 x2 之间的直线，如下所示：

x1 和 x2 之间这条直线上的一个点可以通过取 x1 和 x2 的每个 (x,y,z) 值并写入来描述它采用上述参数形式并改变参数 t，它来自 [0,1]。因此 t=0 会给你第一点 x1 或 a 而 t=1 会给你第二点 x2 或 b。 [0,1] 之间的任何 t 值都会给你一个沿线的点。 objective 是找到 t 的值 最小化 从 x0 或 c 到这条线的距离。就像我之前说的，我们都从几何学中知道，如果从这个交点延伸一条线到 x0 点或 c.

因此，你所要做的就是找到t的这个值，然后将其代入上面的参数方程，找到你想要的点。换句话说，我们想要最小化点和线之间的距离，距离可以这样描述：

要找到最小距离，您可以通过找到关于 t 的导数并将其设置为 0 来找到使上述方程最小化的参数 t。从逻辑上讲，您会取方程的平方根，这样你就可以最小化距离，而不是距离的平方。然而，最小化距离的平方实际上更容易，这就是为什么上面的等式是这样表示的。这是有道理的，因为如果你最小化距离的平方……距离也会最小化，因为你只需在答案上放一个平方根就可以得到你所要求的。从等式中消除平方根将使计算导数更容易。

如果你这样做，并求解 t，我们得到这个等式：

因此，找出 a 和 c 之间的差异，将其与 b 和 a 之间的差异进行点积，然后将其除以b 和 a 之间差值的平方。这解决了 t，然后您将其代入上述参数方程以找到您的观点。

在 MATLAB 代码中，它可能看起来像这样：

a = [1 1 2]; %line - x1
b = [20 28 90]; % line - x2

c = [50 30 67]; %point - x0

ab = b - a; %// Find x2 - x1

%// -(x1 - x0).(x2 - x1) / (|x2 - x1|^2)
t = -(a - c)*(ab.') / (ab*ab.'); %// Calculate t

%// Find point of intersection
Xinter = a + (b - a)*t;

t 的代码我利用了矩阵乘法。可以通过将行数组乘以列数组来找到点积，并且以类似的方式，如果行数组和列数组具有相同的系数，则结果是矢量的幅度平方。

对于您的示例，我们得到：

Xinter =

   16.9889   23.7211   76.0539

为了证明这是正确的，让我们画出直线、点和交点：

生成上图的代码是：

figure;

%// Plot line
plot3([a(1) b(1)], [a(2) b(2)], [a(3) b(3)]);
hold on;

%// Plot point of interest in red
plot3(c(1), c(2), c(3), 'r.');

%// Plot intersection point in green
plot3(Xinter(1), Xinter(2), Xinter(3), 'g.');

%// Plot line from intersection point to point of interest in black
plot3([c(1) Xinter(1)], [c(2) Xinter(2)],  [c(3) Xinter(3)], 'k');

%// Turn on a grid
grid;

在垂直于目标点的 3D 线上找到交点

Finding the point of intersection on a 3D line perpendicular to a target point

matlab

geometry

linear-algebra