双曲面的采样点
Sample points from a hyperboloid
双曲面的公式为
-x^2/a^2 - y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1.
如何从 Python 中的双曲面生成样本？ （比如说，a=b=c=1。）
我想在 [0,1] 中随机选择 x 和 y，然后填充使公式等于 1 的 z 值。然而，这不会均匀采样。有没有更好的方法？
这只是部分答案。
J.F。 Williamson，“Random selection of points distributed on curve surfaces”，Physics in Medicine & Biology 32(10)，1987，描述了在参数化表面上选择均匀随机点的一般方法。这是一种 acceptance/rejection 方法，根据其拉伸因子（梯度范数）接受或拒绝每个候选点。要将此方法用于参数化曲面，必须了解有关曲面的几件事，即 -
x(u, v)、y(u, v)和z(u, v)，分别是从二维坐标u和[=14生成3维坐标的函数=],
范围u和v,
g(point)，曲面上每个点的梯度范数（“拉伸因子”），以及
gmax，整个面的最大值g。
那么算法就是：
- 在曲面上生成一个点，
xyz。
- 若
g(xyz) >= RNDU01()*gmax，其中RNDU01()为[0, 1)中的均匀随机数，接受该点。否则，重复此过程。
对于参数为a=b=c=1的双曲面：
- 梯度为
[2*x, -2*y, 2*z]。
- 梯度范数的最大值为：
2*sqrt(3)，如果x、y、z都在[0, 1]区间内。
只剩下将隐式公式变成参数方程，它是二维坐标u和v的函数。我知道这个算法适用于参数化曲面，但我不知道如果我们在步骤 1 中“在 [0,1] 中随机选择 x 和 y，然后填写使公式相等的 z 值”，它是否仍然有效.
双曲面的公式为
-x^2/a^2 - y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1.
如何从 Python 中的双曲面生成样本？ （比如说，a=b=c=1。）
我想在 [0,1] 中随机选择 x 和 y，然后填充使公式等于 1 的 z 值。然而，这不会均匀采样。有没有更好的方法？
这只是部分答案。
J.F。 Williamson，“Random selection of points distributed on curve surfaces”，Physics in Medicine & Biology 32(10)，1987，描述了在参数化表面上选择均匀随机点的一般方法。这是一种 acceptance/rejection 方法，根据其拉伸因子（梯度范数）接受或拒绝每个候选点。要将此方法用于参数化曲面，必须了解有关曲面的几件事，即 -
x(u, v)、y(u, v)和z(u, v)，分别是从二维坐标u和[=14生成3维坐标的函数=],范围
u和v,g(point)，曲面上每个点的梯度范数（“拉伸因子”），以及gmax，整个面的最大值g。
那么算法就是：
- 在曲面上生成一个点，
xyz。 - 若
g(xyz) >= RNDU01()*gmax，其中RNDU01()为[0, 1)中的均匀随机数，接受该点。否则，重复此过程。
对于参数为a=b=c=1的双曲面：
- 梯度为
[2*x, -2*y, 2*z]。 - 梯度范数的最大值为：
2*sqrt(3)，如果x、y、z都在[0, 1]区间内。
只剩下将隐式公式变成参数方程，它是二维坐标u和v的函数。我知道这个算法适用于参数化曲面，但我不知道如果我们在步骤 1 中“在 [0,1] 中随机选择 x 和 y，然后填写使公式相等的 z 值”，它是否仍然有效.