每个类型构造函数（`Type -> Type`）都是某种函子吗

Question

众所周知，种类为 Type -> Type 的类型构造函数（在系统 F-omega 中）只有 Functor 如果它实现了函数 (a -> b) -> f a -> f b。虽然这是一个无法无天的函子，但它也应该遵守函子法则（保留组成和身份）。所以带有 Type -> Type 的类型构造函数并不总是一个函子。但这只是关于类型范畴中的协变内函子。还有逆变函子和更多种类的函子。

我的问题：constructor/function 类型 Type -> Type 的任何类型都是某种（范畴论的）合法函子（协变、逆变或其他类型）吗？

Answer 1

是的，它始终是一个往返于 Haskell 类型的离散类别（只有标识箭头的类别）的函子。它为每个对象 a 分配一个对象 f a。对于每个箭头（仅是恒等函数）a -> a，我们自动有一个箭头 f a -> f a，即恒等函数。定律是微不足道的，因为唯一正在进行的组合是与它们自己组合的恒等箭头。