Isabelle/HOL中的逻辑条件非真非真如何通过案例分析证明？

Question

我知道 Isabelle 可以通过构造函数（例如列表）进行案例分析，但是

有没有办法根据条件是真还是假来拆分案例？

例如，在证明以下引理时，我的逻辑（如以下无效语法中的无效证明所示）是，如果条件“x ∈ A”为真，则证明简化为微不足道的事情；当条件为假（即“x∉A”）时，它也会简化：

lemma "(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ⟹ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)"
proof (case "x ∈ A")
  (* ... case true *)
  show "x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)" by (rule disjI1)
next (* ... case false *)
  have "x ∈ B ∧ x ∈ C" by simp
  show "x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)" by (rule disjI2)

但我不知道如何将英文的“案例分析”翻译成伊莎贝尔。

在Isabelle/HOL中有没有办法通过条件的真假来表达这种案例分析？（截至伊莎贝尔2021）

(还是需要排中律等附加公理？)

Answer 1

您几乎已经猜对了语法，您可以使用语法 proof (cases "<pred>").

为任何谓词编写案例证明

对于您提供的示例：

lemma "(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ⟹ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)"
proof (cases "x ∈ A")
  (* ... case true *)
  case True
  then show "x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)" by (rule disjI1)
next (* ... case false *)
  case False
  then have "x ∈ B ∧ x ∈ C" sorry (* by simp*)
  then show "x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)" by (rule disjI2)

Isabelle/HOL中的逻辑条件非真非真如何通过案例分析证明？

How to prove by case analysis on a logical condition being either true or false in Isabelle/HOL?

isabelle