网格步长（两个相邻的机器可表示数字之间的差异

Question

我写了这样一段代码来求网格步长（两个相邻机器可表示数之间的差，机器epsilon大于一和一的最小机器可表示数之间的差）。为什么这个程序对于很大的 x 值显示 1 以及如何修复它以显示正确答案？

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    long double x,eps=1.0,a; 
    scanf("%Lg",&x);
    do
    {
        a=eps;
        eps/=2.0;
    }
    while( x+eps>x);
    printf("Grid step: %Le",(long double)a);
    return 0;
}

Answer 1

浮点数表示为符号（+1 或 −1）s、指数 e 和数字f 在固定基数（称为尾数）中具有固定位数。以底数b和精度（位数）p，用符号s表示的数，指数e, 和数字 f₀, f₋₁, f₋₂, f₋₃, f₋₄,…f_1−p是s•b^e•sum(f_i•bⁱ 因为 −p < i ≤ 0)。

例如，底数2，精度4，符号+1，指数1，尾数1.001，表示的数为+1•2¹•1.001₂ = 2•1⅛ = 2¼ = 9/4 = 2.25.

给定范围内的任何可表示数，通过将 1 加到有效数的最低位来获得下一个更大的可表示数。在上面的示例中，下一个更大的数将具有有效数 1.010 以及相同的符号和指数，因此它将是 +1•2¹•1.010₂ = 2•1¼ = 2½ = 10/4 = 2.5.

这意味着，如果一个数字x用指数e表示，那么它与下一个更大的可表示数字之间的差是b^e•b^1−p = b^e+1−p.

数字1用指数0表示，因为1 = +1•b⁰•1.000…000_b。所以 1 和下一个可表示数之间的差是 b^1−p。如果您的 long double 格式的基数为 2，精度为 64 位，则此差值为 2¹⁻⁶⁴ = 2⁻⁶³，所以所谓的“机器epsilon”的值应该是2⁻⁶³.

如果使用二进制格式，则 2 的指数为 1，因此它与下一个可表示数字之间的差值为 b^e+1−p = 2¹⁺¹⁻⁶⁴ = 2⁻⁶²。这些差异称为 ULP，最小精度单位。

4的ULP为2⁻⁶¹，8的ULP为2⁻⁶⁰，依此类推。对于 2⁶³，ULP 为 2⁶³⁻⁶³ = 1.

当您输入 2⁶⁴ 或更大的数字时，您的程序无法找到 ULP，因为 ULP 大于 1，但您的程序开始查找 1 和向下工作。

您可以通过从 long double 格式中尽可能大的 ULP 开始，或者根据 x 的值将程序更改为向上或向下工作来修复它。

网格步长（两个相邻的机器可表示数字之间的差异

Grid step (difference between two adjacent machine-representable numbers

floating-point

ieee-754