如何询问 Scala 是否存在类型参数的所有实例化的证据？

Question

给定 Peano 数的以下类型级加法函数

sealed trait Nat
class O extends Nat
class S[N <: Nat] extends Nat

type plus[a <: Nat, b <: Nat] = a match
  case O => b
  case S[n] => S[n plus b]

假设我们想证明定理

for all natural numbers n, n + 0 = n

也许可以这样指定

type plus_n_0 = [n <: Nat] =>> (n plus O) =:= n

那么在为定理提供证据时，我们可以很容易地向 Scala 编译器询问特定情况下的证据

summon[plus_n_O[S[S[O]]]]  // ok, 2 + 0 = 2

但是我们如何询问 Scala 是否可以为 [n <: Nat] 的所有实例生成证据，从而提供 plus_n_0 的证据？

Answer 1

这是一种可能的方法，它试图对本段进行字面解释：

When proving a statement E:N→U about all natural numbers, it suffices to prove it for 0 and for succ(n), assuming it holds for n, i.e., we construct ez:E(0) and es:∏(n:N)E(n)→E(succ(n)).

来自 the HoTT book (section 5.1).

下面是在代码中实现的计划：

阐明证明“某些属性 P 对所有自然数成立”的陈述意味着什么。下面，我们将使用
```
 trait Forall[N, P[n <: N]]:
   inline def apply[n <: N]: P[n]
```
其中 apply 方法的签名本质上说“对于所有 n <: N，我们可以生成 P[n] 的证据”。

注意方法声明为inline。这是确保 ∀n.P(n) 的证明在运行时具有建设性和可执行性的一种可能方法 （但是，请参阅编辑历史以了解具有手动生成的见证条款的替代提案）.
假设某种自然数归纳原理。下面，我们将使用以下公式：
```
 If
    P(0) holds, and
    whenever P(i) holds, then also P(i + 1) holds,
 then
    For all `n`, P(n) holds
```
我相信使用一些元编程工具 derive 这样的归纳原理应该是可能的。
写出归纳原理的基本情况和归纳情况的证明
???
利润

代码如下所示：

sealed trait Nat
class O extends Nat
class S[N <: Nat] extends Nat

type plus[a <: Nat, b <: Nat] <: Nat = a match
  case O => b
  case S[n] => S[n plus b]

trait Forall[N, P[n <: N]]:
  inline def apply[n <: N]: P[n]

trait NatInductionPrinciple[P[n <: Nat]] extends Forall[Nat, P]:
  def base: P[O]
  def step: [i <: Nat] => (P[i] => P[S[i]])
  inline def apply[n <: Nat]: P[n] =
    (inline compiletime.erasedValue[n] match
      case _: O => base
      case _: S[pred] => step(apply[pred])
    ).asInstanceOf[P[n]]

given liftCoUpperbounded[U, A <: U, B <: U, S[_ <: U]](using ev: A =:= B):
  (S[A] =:= S[B]) = ev.liftCo[[X] =>> Any].asInstanceOf[S[A] =:= S[B]]

type NatPlusZeroEqualsNat[n <: Nat] = (n plus O) =:= n

def trivialLemma[i <: Nat]: ((S[i] plus O) =:= S[i plus O]) =
  summon[(S[i] plus O) =:= S[i plus O]]

object Proof extends NatInductionPrinciple[NatPlusZeroEqualsNat]:
  val base = summon[(O plus O) =:= O]
  val step: ([i <: Nat] => NatPlusZeroEqualsNat[i] => NatPlusZeroEqualsNat[S[i]]) = 
    [i <: Nat] => (p: NatPlusZeroEqualsNat[i]) =>
      given previousStep: ((i plus O) =:= i) = p
      given liftPreviousStep: (S[i plus O] =:= S[i]) =
        liftCoUpperbounded[Nat, i plus O, i, S]
      given definitionalEquality: ((S[i] plus O) =:= S[i plus O]) =
        trivialLemma[i]
      definitionalEquality.andThen(liftPreviousStep)

def demoNat(): Unit = {
  println("Running demoNat...")
  type two = S[S[O]]
  val ev = Proof[two]
  val twoInstance: two = new S[S[O]]
  println(ev(twoInstance) == twoInstance)
}

它编译、运行并打印：

true

意味着我们已经成功调用了递归定义的 two plus O =:= two.

类型的可执行证据项上的方法

一些进一步的评论

trivialLemma 是必要的，这样 summons 就不会在其他 givens 中意外生成递归循环，这有点烦人。
S[_ <: U] 需要单独的 liftCo 方法，因为 =:=.liftCo 不允许类型构造函数具有上限类型参数。
compiletime.erasedValue + inline match 太棒了！它会自动生成某种运行时小发明，使我们能够对“已擦除”类型进行模式匹配。在我发现这一点之前，我试图手动构建适当的见证项，但这似乎根本没有必要，它是免费提供的（请参阅编辑历史以了解手动构建见证项的方法）。

如何询问 Scala 是否存在类型参数的所有实例化的证据？

How to ask Scala if evidence exists for all instantiations of type parameter?

scala

implicit

scala-3

match-types