如何确定线方程，给定平面和方向

Question

直线L在平面上：x + y + z + 1 = 0，直线方向为(a, 1,0)某值 a ∈ ℝ:

我不知道如何回答这个问题，希望得到你的帮助：

1. 我们可以根据上面给定的细节确定线方程吗？存在多少行？
2. 如果直线也经过点(1, −1, −1)，是否可以确定直线方程？有多少行？

Answer 1

如果点(x0, y0, z0)属于平面，那么点(x0 + a , y0 + 1, z0)也应该属于这个平面，所以

x0 + a + y0 + 1 + z0 = 1
(x0 + y0 + z0) + a + 1 = 1
1 + a + 1 = 1
a = -1 

另一种方式-属于平面的线必须垂直于平面法线，因此法线和方向向量的点积必须为零：

1 * a + 1 * 1 + 1 * 0  = 0
a = -1

我们只知道方向向量，在给定的平面上有无数条平行线。

如果我们固定一个点，我们可以得到唯一的线

base =  (1, −1, −1)
dir  =  (-1, 1, 0)
L = (1, −1, −1) + t * (-1, 1, 0) 

这是直线的参数方程