二分法收敛参数。 C代码

Question

我在代码中坚持使用一个公式。以不同的方式多次更改，但我的老师一直说它不正确。我放弃了，不知道我还能做什么。我想我只是没有正确理解公式，这就是我做错的原因。你能帮我找到解决办法吗？谢谢！

这是一个非常简单的二分法，我必须求解方程。除此之外，我还必须使用公式 α = |Xn+1 - Xn| 找到收敛参数（我不确定我是否使用了正确的术语。任务是俄语） / |Xn - Xn-1|，其中 n - 收敛阶数（这里我不确定这是否正确。我使用了 Google 翻译器）。

请看一下我计算这个值的代码末尾，请给我一个建议，我做错了什么？我使用根 ξ 作为 Xn、a 和 b 作为 Xn-1 和 Xn+1。老师的评论是“收敛参数仍然不正确。用这种方法总是会得到1。正如我写的那样，使用任务中的公式”。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<time.h>

double f(double x); //Function
int res(int i, double a, double b, double ξ, double ε1, double ε2); //Print result
double Bisection(double a, double b, double ε1, double ε2); //Bisection method

int main()
{
    double a=-10, b=0, ξ, h=0.5, α, x1, x2, ε1, ε2;
    int i=0;

    printf("\nf(x) = 2^x - 2 * cos(x)");
    printf("\nStart of the interval a = %.0lf", a);
    printf("\nEnd of the interval b = %.0lf", b);
    printf("\nEnter error ε1 for function = ");
    scanf("%lf", &ε1);
    printf("Enter error ε2 for argument = ");
    scanf("%lf", &ε2);
    printf("\n\nSOLUTION:");

    //selection of roots
    x1=a;
    x2=x1+h;
    while (x2<=b)
    {
        if ((f(x1)*f(x2))<0) 
        {
            i++;
            printf("\n\n%d) %d root of the function is in the interval [%.1f, %.1f]\n",i, i, x1, x2);
            printf("\nn\t     a\t\t   b\t\t ξ\t     f(ξ)\t     ε1\t\t    ε2\n");
            Bisection(x1,x2,ε1,ε2); //Bisection method
        }
        x1=x2;
        x2=x1+h;
    }
    return 0;
}

//Function
double f(double x) 
{
   double y;
   y=pow(2,x)-2*cos(x);
   return y;
}

//Print result
int res(int i, double a, double b, double ξ, double ε1, double ε2) 
{
   printf("%d\t%10.7f    %10.7f    %10.7f    %10.7f    %e    %e\n", i, a, b, ξ, f(ξ), ε1, ε2);
   return 0;
}

//Bisection method
double Bisection(double a, double b, double ε1, double ε2)
{
    double ξ=(a+b)/2; //Middle of the interval
    double α;
    int i=0;
    if (f(ξ)==0) 
    {
        printf("Root: %f \n\n", ξ);
    }
    else 
    {
        while ((fabs(f(ξ))>ε1) && ((fabs(b-a)/2)>ε2)) //The accuracy of the definition of the root
        {
            if ((f(a)*f(ξ))<0) 
            {
                b=ξ;
            }
            else 
            {
                a=ξ;
            }
            ξ=(a+b)/2;
            res(i+1, a, b, ξ, ε1, ε2); //Print results
            i++;
        }
        α = fabs(ξ-b)/fabs(ξ-a); //Parameter of convergence
        printf("\nParameter of convergence: α=%.1f\n", α);
        printf("Root ξ=%.7f found after %d iterations\n", ξ, i);
        printf("Function f(ξ)=%.10f found after %d iterations\n", f(ξ), i);
    }
    return 0;
}

Answer 1

据我了解

the formula α = |Xn+1 - Xn| / |Xn - Xn-1|

指的是在每次迭代（n）时计算根（X），所以在第一次迭代时

|Xn - Xn-1| = fabs(b - a)
|Xn+1 - Xn| = fabs(ξ - a) = fabs(b - ξ) 
            = fabs(b - a) / 2             given that ξ=(a+b)/2  (ignoring numerical errors)

在二分法的每次连续迭代中，范围 [a, b] 减半，这意味着 α 将始终为 1/2。

由于浮点类型的精度和范围有限，表达式 ξ=(a+b)/2（或 ξ = a + (b - a)/2）最终会生成一个数值等价的值到极端之一，导致 α = 0.

二分法收敛参数。 C代码

Parameter of convergence of bisection method. C code

c

math

bisection

convergence