Rbar / Rbar_le / 外稃罂粟

Question

我正在通过 Coq 8.12.0 参考手册学习 Coq，但无法证明以下引理。

From Coq Require Import Lia Reals Lra List.

Lemma lemma1 : forall (x y:Rbar), Rbar_le x 0 -> Rbar_le y 0
   -> Rbar_le (Rbar_plus x y) 0.

Proof.
destruct x ; destruct y ; simpl ; intuition.
destruct H.
destruct H0.
unfold Rle.
auto with real.
right.
...

然后我就卡住了，无法完成证明。有什么想法吗？

Answer 1

当您输入策略 right 时，您在证明中做出了一个选择，但您的假设中并没有被事实证实。你应该去掉这一行，并尝试找到另一种方法来证明你最初的猜想，这似乎真的可以证明。

实际上，如果您开始展开 Rle 的定义并使用 destruct，那么您进入的细节太多了。 ...; intuition 后的目标如下：

1 subgoal (ID 207)

  r, r0 : R
  H : r <= 0
  H0 : r0 <= 0
  ============================
  r + r0 <= 0

这是简单线性算术的目标（因为我们只是将变量加在一起，使用简单的比较）。这是通过称为 lra 的强大策略解决的。就叫它吧。证明的完整脚本在这里：

Lemma lemma1 : forall (x y:Rbar), Rbar_le x 0 -> Rbar_le y 0
   -> Rbar_le (Rbar_plus x y) 0.

Proof.
destruct x ; destruct y ; simpl ; intuition.
lra.
Qed.

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