无法使用 tensordot 重新创建具有 "interleaved" 输出索引的一行 einsum 函数？

Question

NumPy 的 tensordot 和 einsum 函数之间的相同点和不同点都有详细记录，并已在本论坛中进行了广泛讨论（例如 , , , [4], [5]）。但是，我已经运行进入一个使用 einsum 的矩阵乘法实例，我发现使用 tensordot 复制它非常困难，如果不是不可能的话：如果我们的两个数组是，

>>> A = np.array([[0, 1], [1, 0]])
>>> B = np.arange(2 ** 4).reshape((2, 2, 2, 2))

是否存在一行 tensordot 等同于以下内容？

>>> np.einsum("ab,ibjk->iajk", A, B)
array([[[[ 4,  5],
         [ 6,  7]],

        [[ 0,  1],
         [ 2,  3]]],


       [[[12, 13],
         [14, 15]],

        [[ 8,  9],
         [10, 11]]]])

根据我的发现，答案似乎是“否”。问题出现在输出维度的索引中，iajk。此处，数组 A 的维度 a 出现在数组 B 的维度 i 和 j 之间。如果输出维度的索引改为 aijk，np.tensordot(A, B, (1, 1)) 就可以正常工作。我运行使用所有可能的轴进行测试，

>>> output_einsum = np.einsum("ab,ibjk->iajk", A, B)
>>> axes_A = [-2, -1, 0, 1]
>>> axes_B = [-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]
>>> for i in axes_A:
...     for j in axes_B:
...         output_tensordot = np.tensordot(A, B, axes=(i, j))
...         if np.allclose(ouput_einsum, output_tensordot):
...             print(i,j)
...

并发现允许的轴组合没有产生预期的结果。请注意，B 的维度将 axes 参数的每个元素的长度限制为 1。 einsum 具有交错输出维度的函数不能使用 tensordot 在一行中重现是否正确？如果是这样，是否存在多行解决方法？

Answer 1

正如我在之前的回答中强调的那样，tensordot 是 np.dot 的扩展，允许我们指定在乘积和中使用哪些维度。 dot 默认是 A 的最后一个，B 的倒数第二个。

这说明了 dot 如何处理大于 2 的维度：

In [158]: np.dot(np.ones((2,3,4)),np.ones((5,4,7))).shape
Out[158]: (2, 3, 5, 7)

按照 tensordot 的说法，B 的非收缩尺寸遵循 A 的尺寸。所以采用相同的数组，但移动轴，产生相同的结果。

In [162]: np.tensordot(np.ones((2,4,3)),np.ones((5,7,4)),(1,2)).shape 
Out[162]: (2, 3, 5, 7)

在这些示例中，我选择了不同的维度，因此顺序更加明显。

tensordot 不提供重新排序非收缩尺寸的方法。但是你之后可以轻松地自己做。

您的示例四周都是 2 维尺寸。这允许您指定轴的任意组合，但需要使用 allclose 来测试结果。

In [146]: >>> A = np.array([[0, 1], [1, 0]])
     ...: >>> B = np.arange(2 ** 4).reshape((2, 2, 2, 2))

在两个数组的第 2 轴上执行积和：

In [147]: C=np.tensordot(A,B,(1,1))
In [148]: C.shape
Out[148]: (2, 2, 2, 2)
In [149]: C
Out[149]: 
array([[[[ 4,  5],
         [ 6,  7]],

        [[12, 13],
         [14, 15]]],


       [[[ 0,  1],
         [ 2,  3]],

        [[ 8,  9],
         [10, 11]]]])

以及具有默认结果排序的 einsum ('aijk')

In [150]: D= np.einsum('ab,ibjk',A,B)
In [151]: np.allclose(C,D)
Out[151]: True

tensordot 等同于 dot:

In [152]: E = np.dot(A,B.reshape(2,2,4))
In [153]: E.shape
Out[153]: (2, 2, 4)
In [154]: np.allclose(C,E.reshape(2,2,2,2))
Out[154]: True
In [155]: np.allclose(E,np.einsum('ab,ibk',A,B.reshape(2,2,4)))
Out[155]: True

无法使用 tensordot 重新创建具有 "interleaved" 输出索引的一行 einsum 函数？

One line einsum functions with "interleaved" output indexing impossible to recreate using tensordot?

python

arrays

numpy

numpy-einsum

tensordot