Scipy 的 solve_bvp 和耦合微分方程的性能问题

Question

我在 Python 3.8.3 中尝试实现下面的耦合微分方程（也称为单模耦合方程）时遇到问题。至于求解器，我使用的是Scipy的函数scipy.integrate.solve_bvp，其文档可以阅读here。我想求解复杂域中的方程，对于不同的传播轴值 (z) 和不同的 beta 值 (beta_analysis)。

问题在于，与在 Matlab 中使用函数 bvp4c、bvpinit 和 bvpset 的等效实现相比，它非常慢（不可管理）。评估两个执行的前几次迭代，它们 return 相同的结果，除了在 Scipy 的情况下生成的网格要大得多。网格有时甚至饱和到最大值。

下面显示了要求解的方程以及边界条件函数。

import h5py
import numpy as np
from scipy import integrate
    
def coupling_equation(z_mesh, a):
    ka_z = k    # Global
    z_a = z     # Global
    a_p = np.empty_like(a).astype(complex)

    for idx, z_i in enumerate(z_mesh): 
        beta_zf_i = np.interp(z_i, z_a, beta_zf)    # Get beta at the desired point of the mesh
        ka_z_i = np.interp(z_i, z_a, ka_z)          # Get ka at the desired point of the mesh

        coupling_matrix = np.empty((2, 2), complex)
        coupling_matrix[0] = [-1j * beta_zf_i, ka_z_i]
        coupling_matrix[1] = [ka_z_i, 1j * beta_zf_i]

        a_p[:, idx] = np.matmul(coupling_matrix, a[:, idx])    # Solve the coupling matrix

    return a_p

def boundary_conditions(a_a, a_b):
    return np.hstack(((a_a[0]-1), a_b[1]))

此外，鉴于 [=25]，我找不到将 k、z 和 beta_zf 作为函数 coupling_equation 的参数传递的方法=] solve_bpv 函数的参数必须是可调用参数 (x, y)。我的方法是定义一些全局变量，但如果有更好的解决方案，我也将不胜感激。

我尝试编写的分析函数是：

def analysis(k, z, beta_analysis, max_mesh):
    s11_analysis = np.empty_like(beta_analysis, dtype=complex)
    s21_analysis = np.empty_like(beta_analysis, dtype=complex)
    
    initial_mesh = np.linspace(z[0], z[-1], 10)    # Initial mesh of 10 samples along L
    mesh = initial_mesh
    
    # a_init must be complex in order to solve the problem in a complex domain
    a_init = np.vstack((np.ones(np.size(initial_mesh)).astype(complex), 
                        np.zeros(np.size(initial_mesh)).astype(complex)))
    
    for idx, beta in enumerate(beta_analysis):
        print(f"Iteration {idx}: beta_analysis = {beta}")
        global beta_zf 
        beta_zf = beta * np.ones(len(z))    # Global variable so as to use it in coupling_equation(x, y)
        
        a = integrate.solve_bvp(fun=coupling_equation, 
                                bc=boundary_conditions, 
                                x=mesh, 
                                y=a_init, 
                                max_nodes=max_mesh,
                                verbose=1)
#         mesh = a.x      # Mesh for the next iteration
#         a_init = a.y    # Initial guess for the next iteration, corresponding to the current solution
        s11_analysis[idx] = a.y[1][0]
        s21_analysis[idx] = a.y[0][-1]
    return s11_analysis, s21_analysis

我怀疑问题与传递给不同迭代的初始猜测有关（请参阅 analysis 函数中循环内的注释行）。我尝试将迭代的解决方案设置为以下的初始猜测（这必须减少求解器所需的时间），但它甚至更慢，我不明白。也许我错过了什么，因为这是我第一次尝试求解微分方程。

执行使用的参数如下：

f2 = h5py.File(r'path/to/file', 'r')
k = np.array(f2['k']).squeeze()
z = np.array(f2['z']).squeeze()
f2.close()

analysis_points = 501
max_mesh = 1e6 

beta_0 = 3e2; 
beta_low = 0;       # Lower value of the frequency for the analysis
beta_up = beta_0;   # Upper value of the frequency for the analysis
beta_analysis = np.linspace(beta_low, beta_up, analysis_points);

s11_analysis, s21_analysis = analysis(k, z, beta_analysis, max_mesh)

关于如何提高这些功能的性能有什么想法吗？提前谢谢大家，如果问题表述不当，我深表歉意，我接受有关此问题的任何建议。

编辑： 添加了一些有关性能和问题大小的信息。

实际上，我找不到确定调用 coupling_equation 次数的关系。这一定是求解器内部操作的问题。我通过打印一行来检查一次迭代中的调用次数，它发生了 133 次（这是最快的一次）。这必须乘以 beta 的迭代次数。对于分析的一个，求解器 return 编辑了这个：

Solved in 11 iterations, number of nodes 529. Maximum relative residual: 9.99e-04 Maximum boundary residual: 0.00e+00

a 和 z_mesh 的形状是相关的，因为 z_mesh 是一个向量，其长度对应于网格的大小，求解器每次调用 coupling_equation。鉴于a包含z_mesh各点的前进波和回归波的振幅，a的形状为(2, len(z_mesh))。
在计算时间方面，我只用 Python 在大约 2 小时内完成了 19 次迭代。在这种情况下，初始迭代速度更快，但随着网格的增长，它们开始花费更多时间，直到网格饱和到最大允许值。我认为这是因为那一点的输入耦合系数的值，因为当 beta_analysis 中没有循环被执行时也会发生这种情况（只是 beta 中间值的 solve_bvp 函数）。相反，Matlab 在大约 6 分钟内设法 return 解决了整个问题。如果我将最后一次迭代的结果作为 initial_guess 传递（analysis 函数中的注释行，网格溢出得更快并且不可能获得超过几次迭代。

Answer 1

基于半随机输入，我们可以看到有时会达到 max_mesh。这意味着可以使用相当大的 z_mesh 和 a 数组调用 coupling_equation。问题是 coupling_equation 包含一个 slow pure-Python loop 在数组的每一列上迭代。您可以使用 Numpy 向量化 大大加快计算速度。这是一个实现：

def coupling_equation_fast(z_mesh, a):
    ka_z = k    # Global
    z_a = z     # Global
    a_p = np.empty(a.shape, dtype=np.complex128)
    beta_zf_i = np.interp(z_mesh, z_a, beta_zf)    # Get beta at the desired point of the mesh
    ka_z_i = np.interp(z_mesh, z_a, ka_z)          # Get ka at the desired point of the mesh
    # Fast manual matrix multiplication
    a_p[0] = (-1j * beta_zf_i) * a[0] + ka_z_i * a[1]
    a_p[1] = ka_z_i * a[0] + (1j * beta_zf_i) * a[1]
    return a_p

与原始实现相比，此代码使用半随机输入提供了类似的输出，但在我的机器上快了大约 20 倍。

此外，我不知道 max_mesh 是否恰好对您的输入也很大，即使这是 normal/intended。减少 max_mesh 的值以进一步减少执行时间可能是有意义的。

Scipy 的 solve_bvp 和耦合微分方程的性能问题

Performance issue with Scipy's solve_bvp and coupled differential equations

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