如何提取scipy.fft.dct用于二维的余弦变换公式？

Question

对于 1D 余弦变换，文档在 here 中很清楚，我可以轻松地重现它：

公式为：

这里是手动复制的，例如三次谐波：

import numpy as np
from scipy.fft import fft, dct

y = np.array([10,3,5])

# dct() call:
print(dct(y, 2))

# manual reproduction for k = 2:
N = 3
k = 2
n = np.array([0,1,2])
2 * (
    y[0] * np.cos((np.pi*k*(2*n[0]+1))/(2*N)) + 
    y[1] * np.cos((np.pi*k*(2*n[1]+1))/(2*N)) + 
    y[2] * np.cos((np.pi*k*(2*n[2]+1))/(2*N)))

在这两种情况下我都得到 9。

但是没有 2D DCT 的文档，我尝试用玩具矩阵破解公式也没有成功：

比较：

z = np.array([[ 2,  3       ],
             [ 10, 15]])
dct(z, axis=0)  # dct() call

例如：

N = 2
M = 2
k = 0
l = 0
n = np.array([0,1])
m = np.array([0,1])
M*N * (
    z[0,0] * np.cos((np.pi*k*(2*n[0]+1))/(2*N)) * np.cos((np.pi*l*(2*m[0]+1))/(2*M)) + 
    z[0,1] * np.cos((np.pi*k*(2*n[0]+1))/(2*N)) * np.cos((np.pi*l*(2*m[1]+1))/(2*M)) +
    z[1,0] * np.cos((np.pi*k*(2*n[1]+1))/(2*N)) * np.cos((np.pi*l*(2*m[0]+1))/(2*M)) +
    z[1,1] * np.cos((np.pi*k*(2*n[1]+1))/(2*N)) * np.cos((np.pi*l*(2*m[1]+1))/(2*M))
)

为第一个系数。

任何人都可以帮助我协调 dct() 的输出与我尝试的手动计算吗？

我猜公式不是...

但如果我可以手动为上面示例矩阵中的系数之一获得相同的输出，那么纠正起来真的很容易。

Answer 1

您找不到多维模式的公式，因为该函数不进行多维余弦变换。 axis 关键字应该是可疑的：在 NumPy 中，SciPy 它通常决定执行低维操作的方向。

换句话说，dct(z, axis=0)只是一个列式一维余弦变换：

import numpy as np
from scipy.fft import dct

z = np.array([[ 2,  3],
             [ 10, 15]])
print(dct(z, axis=0))  # dct() call
print(np.array([dct(column) for column in z.T]).T)
# both outputs
# [[ 24.          36.        ]
#  [-11.3137085  -16.97056275]]

注意最后一行的两个转置：它所做的只是首先遍历数组以根据列对其进行切片，然后再次按列连接它们。后者可能更好地拼写为

res = np.stack([dct(column) for column in z.T], axis=1)

如何提取scipy.fft.dct用于二维的余弦变换公式？

How can I extract the cosine transform formula used for 2D by scipy.fft.dct?

python

scipy

fft