计算最小二乘法时矩阵维数的问题

Question

我之前在这方面的主题。

我决定不更改主要问题，而是为每个问题创建一个新问题。

这一次，问题是follows.I在多项式回归中使用了最小二乘法。

对该函数关于参数b的向量求微分并使导数为零，我们得到方程组（矩阵形式）。这个公式。

也就是说，如果我想从这里表达b，我需要做我所做的。

b=X^{T}y/(X^{T}X)=> b=X'*y1/(X'*X)

代码：

#Generating random values of experimental data
x=0:0.1:5;
y=3*x+2;
y1=y+randn(size(y));
k=5;#Polynomial degree
X=[x' ones(length(x),1)];
b=X'*y1/(X'*X); Error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 2x51, op2 is 1x51)\

是的，数组 X 和 y1 的维度不重合。随附的屏幕截图将显示 everything.In 此屏幕截图变量 X、y1 和 X'（转置）。

然后我决定 select 数组 X 中的 1 列并将其乘以 y1。

如果您查看屏幕截图，您会发现现在转置的 X' 与 y1 尺寸相匹配。也就是应该没有错误，但是还是存在

Answer 1

你数学错了。做矩阵运算的时候不能随随便便地划分。

最小二乘解是

b=(X'*X)^-1 * X' * y

还有你对y的定义是错误的，或者你的尺码不合适。

x=0:0.1:5;
y=(3*x+2)'; %transpose!
y1=y+randn(size(y));
X=[x' ones(length(x),1)];

矩阵的逆是你永远不应该用数字表示的东西。幸运的是，有一种叫做 Moore-Penrose pseudoinverse 的东西，它确保在使用时，您将得到原始问题的最小二乘解。所以让我们使用它。

b=pinv(X'*X)*X'*y;
b_with_noise=pinv(X'*X)*X'*y1;

注意下面基本都是零到数值精度，说明是正确的

sum(X*b-y)

ans =

  -5.8176e-14

现在，在 MATLAB/octave 中，您可以更轻松地做到这一点：

b=X\y;
b_with_noise=X\y1;

MATLAB 将找到计算最小二乘解的最佳算法。 mldivide 有更多信息（八度文档有点缺乏，但应该以同样的方式工作）。

计算最小二乘法时矩阵维数的问题

The problem with the dimensions of a matrix when computing the least squares method

regression

octave

octave-gui