求解具有 2 个未知数和 2 个未知数的经验方程的梯度下降

Question

我有以下经验方程（工程）：

Y = A + (X  - B) * (0.3026506 * (A/B))^0.3895556 * (0.2444663 * (A/B))^1.226 + 0.00000560643 * A^(0.00125 * B + 0.3026)

我不知道 A 和 B 的值（但知道在某些物理边界之间）并且以 table 格式给我 Y 和 X 的值：

X	Y
35	179.92
40	181.46
50	184.53
60	187.61
70	190.69
90	196.84
100	199.92
110	203
120	206.08
130	209.16
140	212.23
150	215.31

我的目标是调整 A 和 B 的值，使 RHS 上的方程与 Y中的table给出了等式中给出的所有常数。我的假设之一是使用梯度下降进行多元回归。我想我应该把 Y 作为我的成本函数，但是如果我不知道 A 和 B 应该有什么样的值，我该如何创建梯度下降图呢？可能需要其他方法吗？基本上，它是一个具有两个已知数和两个未知数的方程式。

提前致谢

Answer 1

在 python 你可以这样做：

def error(par, X, Y):
    A = par[0]
    B = par[1]
    V = A + (X  - B) * (0.3026506 * (A/B))**0.3895556 * (0.2444663 * (A/B))**1.226 + 0.00000560643 * A**(0.00125 * B + 0.3026)
    return ((Y-V)**2).sum()

from scipy.optimize import minimize


X = [ 35,  40,  50,  60,  70,  90, 100, 110, 120, 130, 140, 150]
Y = [179.92, 181.46, 184.53, 187.61, 190.69, 196.84, 199.92, 203.  ,
       206.08, 209.16, 212.23, 215.31]

minimize(error, [1,2], (X, Y))['x']
array([202.39468192, 108.03429635])

Answer 2

这是一种使用线性回归的不同方法。

那么这就不再是回归问题了，而是求解两个未知数A和B的二元方程组的问题

问题简化为只有一个非线性方程需要求解 B。

使用Newton-Raphson方法得到B=108.0343

A=1.873431*108.0343=202.3947

请注意，非线性方程是拟线性的（第二项可忽略不计 = 0.0000573）。因此，如果您接受略低的精度，更简单地使用 B=169.14586/1.565669=108.03424，它非常接近 Newton-Raphson 结果。

这意味着您将使用更简单的等式获得 A 和 B 的非常接近的近似值：Y = A +(X-B) * 0.1116231 * (A/B)^1.6155556

求解具有 2 个未知数和 2 个未知数的经验方程的梯度下降

Gradient Descent to solve for Empirical Equation with 2 knowns and 2 unkowns

python

python-3.x

regression

gradient-descent