如何计算非真函数轨迹的逐点曲率半径

Question

我正在使用 Matlab 尝试计算使用投影到局部笛卡尔平面的 GPS 数据获得的轨迹的“曲率半径”信号。第 n 点的信号值是与该点上的轨迹相切的密切圆之一。按照惯例，与左转相关的信号幅度必须为负，反之亦然。

轨迹具有作为图形的适当功能，我正在构建“符号”信号，评估密切圆中心的 y 坐标之间的数值差异：

for i=1:length(yCenter) -1
    aux=Y_m(closestIndex_head:closestIndex_tail );

    if yCenter(i) - aux(i) > 0
        sign(i)=-1;
    else
        sign(i)=+1;
        
    end
end

yCenter包含与轨迹每个点相关的所有密切圆的x坐标；
Y_m 包含轨迹中每个点的 y 坐标。

只要轨迹图是一个适当的函数（对于每个 x 只有一个 y），上述简单方法就可以工作。

我正在研究的轨迹是这样的：

并且标志信号出现了一些异常：

标志似乎在一圈内改变。

我已经尝试使用切线向量和轨迹之间夹角的正弦值、角度的切线符号和其他类似的东西来校正符号，但我仍然看到一些异常情况：

我很确定这些异常是由于图形不是一个正确的函数并且解位于切向量的角度，但仍然缺少一些东西。

任何建议将不胜感激，谢谢。

亚历山德罗

Answer 1

要跟踪 2D 曲线，您应该使用适用于一般参数化 2D 函数的 curvature 表达式。

在实现equation from Wikipedia时，您可以使用离散差分来逼近导数。给定 x 和 y 坐标，这可以按如下方式实现：

% approximate 1st derivatives of x & y with discrete differences
dx  = 0.5*(x(3:end)-x(1:end-2))
dy  = 0.5*(y(3:end)-y(1:end-2))
dl  = sqrt(dx.^2 + dy.^2)
xp  = dx./dl
yp  = dy./dl
% approximate 2nd derivatives of x & y with discrete differences
xpp = (x(3:end)-2*x(2:end-1)+x(1:end-2))./(dl.^2)
ypp = (y(3:end)-2*y(2:end-1)+y(1:end-2))./(dl.^2)

% Compute the curvature
curvature = (xp.*ypp - yp.*xpp) ./ ((xp.^2 + yp.^2).^(1.5))

出于演示目的，我还构建了一个合成测试信号（可用于重新创建相同的条件），但您显然可以改用自己的数据：

z1 = linspace(2,1,N).*exp(1i*linspace(0.75*pi,-0.25*pi,N))
z2 = 2*exp(-1i*0.25*pi) + linspace(1,2,N)*exp(1i*linspace(0.75*pi,2.25*pi,N))
z = cat(1,z1,z2)
x = real(z)
y = imag(z)

对应曲率结果：

如何计算非真函数轨迹的逐点曲率半径

How to calculate the point-by-point radius of curvature of a trajectory that is not a proper function

matlab

curve

signal-processing