符号复数表达式简化

Question

虽然我的问题与具体问题有关，但我想用更笼统的术语来处理它。我想简化通过使用 sympy 包乘以符号矩阵获得的分数复数表达式。我得到的是一个带有实参数和许多复指数项（相位项）的分数，如 exp(-jd)、exp(-2jd) 和 exp(-4j*d ).我得到了正确的结果，但是当我尝试计算 ||**2，这是一个实数表达式时，sympy.simplify() 无法管理相位项，我得到了一个巨大的表达式，我必须减少用手。我的测试程序是 T、M、M_inv、F 和 T，2x2 符号矩阵是：

import simply as sym
Mf = T @ M_inv @ F @ T
Mf = sym.simplify(Mf)
eig = Mf.eigenvals() 
for key,value in eig.items():
    val = key
eig_cc = np.conj(val)
final = sym.simplify(val*eig_cc)

我想知道是否存在改进计算的特定工具。

经过快速研究，我在 post 中发现了两种可能性：

a.trigsimp() 对于 expr.rewrite(cos).expand().as_real_imag()
expr.rewrite(cos).simplify().trigsimp()

虽然第一个为更简单的表达式提供了正确的结果（不是我试图解决的那个），但其中 none 对我有效。

第二个问题，eig 输出有一个字典形状，所以取值我使用了 for 循环。

for key,value in eig.items():
    val = key

是否有更好、更快的方法来达到相同的结果？

我使用的代码是：

import numpy as np
import sympy as sym
from sympy import *
t = sym.Symbol('t', real=True)
r = sym.Symbol('r', real=True)
u = sym.Symbol('u', real=True)
d = sym.Symbol('d', real=True)
a = sym.Symbol('a', real=True)


I = np.identity(2)

T = sym.Matrix ([[t,0],[0,t]])
R = sym.Matrix ([[r,0],[0,r]])
F = sym.Matrix ([[sym.sqrt(u)*sym.exp(-1j*d),0],[0,sym.sqrt(u)*sym.exp(-1j*d)]])



sym.init_printing()
M = (I - F @ R @ F @ R)
M_inv = M.inv() 

Mf = T @ M_inv @ F @ T

Mf = sym.simplify(Mf)

eig = Mf.eigenvals()



for key,value in eig.items():
    val = key

eig_cc = np.conj(val)
expr = finale = sym.simplify(val*eig_cc)

"""
Test1
"""

result = [a.trigsimp() for a in expr.rewrite(sin).expand().as_real_imag()]

"""
Test2
"""

result1 = expr.rewrite(sin).simplify().trigsimp()

提前致谢

Answer 1

几点：

除非您确切地知道自己在做什么，否则不要像这样混淆 numpy 和 sympy。这里根本不需要使用 numpy，所以使用例如sym.eye(2) 和 sym.conjugate(val)
除非有充分的理由，否则不要使用浮点数 - 使用 sym.I 而不是 1j。使用 numpy 可能会引入浮点数，所以除非你知道自己在做什么，否则不要这样做。
虽然 eigenvals returns 在这种情况下是一个字典，但你只关心字典的值，所以你可以只做 list(M.eigenvals()).
虽然您将所有符号声明为真实的，但您使用的 sqrt(u) 只有在 u 为正时才是真实的。除非您打算 sqrt(u) 可能是虚构的，否则 u 应该声明为正值。

通过上述更改，您的代码如下所示：

import sympy as sym
from sympy import *
t = sym.Symbol('t', real=True)
r = sym.Symbol('r', real=True)
u = sym.Symbol('u', positive=True)
d = sym.Symbol('d', real=True)
a = sym.Symbol('a', real=True)

I = sym.eye(2)

T = sym.Matrix ([[t,0],[0,t]])
R = sym.Matrix ([[r,0],[0,r]])
F = sym.Matrix ([[sym.sqrt(u)*sym.exp(-sym.I*d),0],[0,sym.sqrt(u)*sym.exp(-sym.I*d)]])

sym.init_printing()
M = (I - F @ R @ F @ R)
M_inv = M.inv()

Mf = T @ M_inv @ F @ T

Mf = sym.simplify(Mf)

[eig] = Mf.eigenvals()

expr = eig * sym.conjugate(eig)

现在最终的表达式 expr 是这样的：

In [8]: expr
Out[8]: 
               4                
              t ⋅u              
────────────────────────────────
⎛ 2      -2⋅ⅈ⋅d⎞ ⎛ 2      2⋅ⅈ⋅d⎞
⎝r ⋅u - ℯ      ⎠⋅⎝r ⋅u - ℯ     ⎠

In [9]: expr.expand()
Out[9]: 
                  4                   
                 t ⋅u                 
──────────────────────────────────────
 4  2    2    2⋅ⅈ⋅d    2    -2⋅ⅈ⋅d    
r ⋅u  - r ⋅u⋅ℯ      - r ⋅u⋅ℯ       + 1

In [10]: expr.expand().rewrite(sin)
Out[10]: 
                                   4                                    
                                  t ⋅u                                  
────────────────────────────────────────────────────────────────────────
 4  2    2                               2                              
r ⋅u  - r ⋅u⋅(-ⅈ⋅sin(2⋅d) + cos(2⋅d)) - r ⋅u⋅(ⅈ⋅sin(2⋅d) + cos(2⋅d)) + 1

In [11]: expr.expand().rewrite(sin).expand()
Out[11]: 
             4             
            t ⋅u           
───────────────────────────
 4  2      2               
r ⋅u  - 2⋅r ⋅u⋅cos(2⋅d) + 1

我想最后的结果就是你想要的。

符号复数表达式简化

symbolic complex expression simplification

python

sympy

simplify