案例 vs case_tac/induct vs induct_tac

Question

我已经使用 Isabelle/HOL 几个月了，但我一直无法弄清楚使用 _tac 的确切意图。

具体来说，我说的是 cases vs case_tac 和 induct vs indut_tac（虽然如果知道 tac 的一般含义会很好，因为我也在使用其他方法比如cut_tac).

我注意到我不能将 cases 或 induct 与 apply 和 ⋀-绑定变量一起使用，但我可以，如果它是结构化证明为什么？

这方面的一个例子：

    lemma "¬(∀x. ¬(P x)) ⟹ ∃x. P x"
  apply (rule ccontr)
  apply (erule notE)
  apply (rule allI)
  apply (case_tac "P x")
  apply (erule notE)
  apply (erule exI)
  apply assumption
  done

另一方面，我注意到 induct 和 induct_tac 之间的另一个区别是我可以使用 double归纳后者，而不是前者。再一次，我不知道为什么。

提前致谢。

Answer 1

*_tac 是 apply 脚本中使用的内置策略。特别是case_tac和induct_tac已经基本被Isabelle/Isar中的cases和induction证明方法所取代。正如您所提到的，case_tac 和 induct_tac 可以处理⋀-绑定变量。然而，这很脆弱，因为它们的名字通常是自动生成的，并且可能会随着 Isabelle 的改变而改变（当然，您可以使用 rename_tac 选择固定名称）。这就是当今结构化证明方法优于非结构化策略脚本的原因之一。现在，回到你的例子：为了能够使用cases，你可以引入一个结构化块，如下所示：

lemma "¬(∀x. ¬(P x)) ⟹ ∃x. P x"
  apply (rule ccontr)
  apply (erule notE)
  proof (intro allI)
    fix x
    assume "∄x. P x"
    then show "¬ P x"
      apply (cases "P x")
      apply (erule notE)
      apply (erule exI)
      apply assumption
      done
  qed

如您所见，结构化证明通常比较冗长，但比线性 apply-脚本更具可读性。

如果您仍然对“双重归纳”问题感到好奇，非常欢迎举个例子。最后，如果你想了解更多关于使用 Isabelle/Isar 语言环境的结构化证明，我强烈建议你阅读 this tutorial on Isabelle/HOL and The Isabelle/Isar Reference Manual 以获得更详细的信息。

案例 vs case_tac/induct vs induct_tac

cases vs case_tac/induct vs induct_tac

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