strtof()的实现，浮点乘法和尾数舍入问题

Question

这个问题与其说是关于C，不如说是关于算法。我需要实现 strtof() 函数，它的行为与 GCC 完全相同——并且从头开始（没有 GNU MPL 等）。

让我们跳过检查，只考虑正确的输入和正数，例如345.6e7。我的基本算法是：

将数字拆分为分数和整数指数，因此对于 345.6e7，分数为 3.456e2，指数为 7。
创建一个浮点指数。为此，我使用了这些表：

static const float powersOf10[] = {
   1.0e1f,
   1.0e2f,
   1.0e4f,
   1.0e8f,
   1.0e16f,
   1.0e32f
};

static const float minuspowersOf10[] = {
   1.0e-1f,
   1.0e-2f,
   1.0e-4f,
   1.0e-8f,
   1.0e-16f,
   1.0e-32f
};

并获取浮点指数作为整数指数中相应位的乘积，例如7 = 1+2+4 => float_exponent = 1.0e1f * 1.0e2f * 1.0e4f.

将分数乘以浮动指数 return 结果。

第一个问题来了：由于我们做了很多次乘法运算，每次乘法运算的结果都四舍五入，所以误差有点大。因此，我决定深入研究浮点乘法算法并自己实现它：一个函数接受多个浮点数（在我的例子中 - 最多 7 个）并在位级别上将它们相乘。假设我有 uint256_t 类型来适合尾数乘积。

现在，第二个问题：将尾数乘积舍入到23位。我尝试了几种舍入方法（四舍五入，冯诺依曼舍入 - a small article about them），但没有一种方法可以为所有测试数字给出正确的结果。其中一些真的让我感到困惑，比如这个：

7038531e-32。 GCC 的 strtof() returns 0x15ae43fd，所以正确的无偏尾数是 2e43fd。我选择 7.038531e6（偏置尾数 d6cc86）和 1e-32（b.m.cfb11f）的乘法。由此产生的二进制形式的无偏尾数是

( 47)0001 ( 43)0111 ( 39)0010 ( 35)0001
( 31)1111 ( 27)1110 ( 23)1110 ( 19)0010
( 15)1011 ( 11)0101 (  7)0001 (  3)1101

我必须四舍五入到 23 位。但是，通过所有舍入方法我都必须将它四舍五入，结果我会得到 2e43fe - 错了！因此，对于这个数字，获得正确尾数的唯一方法就是将其切碎——但切碎对其他数字不起作用。

经过无数个晚上的努力，我的问题是：

这种 strtof() 方法是否正确？（我知道 GCC 为此使用 GNU MPL，并试图深入了解它。但是，尝试复制 MPL 的实现将需要移植整个库，这绝对不是我想要的）。也许这种先拆分后乘的算法不可避免地容易出错？我做了一些其他的小技巧（例如，为浮点范围内的所有整数指数创建指数表），但它们导致更多的转换失败。
如果是这样，我在四舍五入时是不是错过了什么？我也是这么想的，但是这个7038531e-32这个号码彻底把我搞糊涂了

Answer 1

如果我想尽可能精确，我通常会这样做（但我通常会进行反向操作 float -> text）：

只使用整数（没有浮点数）

如您所知，浮点数是整数尾数按整数指数移位，因此不需要浮点数。

为了构建最终的 float 数据类型，您可以使用简单的 union，其中包含 float 和 32 位无符号整数......或指向相同地址的此类类型的指针。

这将避免完全适合的数字的舍入误差，并减少不太适合的数字的误差。
使用十六进制数

您可以将运行上的十进制数文本转换为对应的十六进制数（仍然是文本），从那里创建尾数和指数整数很简单。

此处：
- How to convert a gi-normous integer (in string format) to hex format? (C#)
是 dec2hex 和 hex2dec 对文本进行数字转换的 C++ 实现示例
转换时使用更多位作为尾数

对于这样的任务和单精度浮点数，我通常使用 2 或 3 个 32 位 DWORD 作为 24 位尾数，以便在乘法后仍然保持一定的精度如果你想要精确，你必须处理 128+24 位对于数字的整数和小数部分，因此顺序为 5x32 位数字。

更多信息和灵感见（反向操作）：

你的代码正好相反（很多部分都是相似的）

因为我 post 我制作了更高级的版本，可以像 printf 一样识别格式，支持更多的数据类型和更多，而不使用任何库（但是它的代码约为 22.5 KB）。我需要它用于 MCU，因为打印的 GCC 实现在那里不是很好......

strtof()的实现，浮点乘法和尾数舍入问题

Implementation of strtof(), floating-point multiplication and mantissa rounding issues

algorithm

floating-point

rounding

multiplication

strtod