核密度估计器（使用高斯核）和 f(x) = 1？

Question

我想使用 KDE with the Gaussian Kernel。如果我是正确的，所有 f(x) 的总和必须为 1（~ 四舍五入）？

我的实现是这样的：

    float K( float const& val)
     {
      const float p=1.0 / std::sqrt( 2.0 * M_PI);
      float result = 0.5 * (val*val);
      result = p * std::exp(- result);

      return result;
     };

std::vector< std::pair<float, float> kde( float *val, int len float h)
{
  std::vector< std::pair<float, float>> density( len );
  const float p = 1.0 / (h * len );

  for(int r=0;r<len;r++)
   {
    float sum = 0;

    for(int i=0;i<len;i++)
     sum += k( (val[r] - val[i]) / h );

    density[r] = std::make_pair( val[r], p*sum );
   }
  return density;
 }

我选择了 h > 0。 p*sum 是值 val[r] 的概率，我说得对吗？所有概率的总和> 1（但对我来说看起来没问题）。

Answer 1

您误解了此处关于概率密度的假设。密度积分为1，而它在某些点的值肯定不是1。

让我们使用您似乎使用的 the linked Wikipedia article 中的以下公式来讨论它：

此公式提供在点 x 处计算的密度 f_h(x)。

根据我的审查，您的代码正确地评估了这个数量。但是，您误解了应该是一个的数量。作为密度，完整 space 上的积分应该产生一个，即

$\large \int f_h(x) \, dx \ = \ 1$

这个属性叫做密度的归一化。

此外，作为密度本身，f_h(x) 的每个加数在对整个 space 进行积分时应该产生 1/n，其中还包括归一化常数。同样，不能保证被加数的值。

在一个维度上，您可以使用梯形规则或其他正交方案轻松确认归一化（--如果您提供一个工作示例，我可以尝试这样做。）

核密度估计器（使用高斯核）和 f(x) = 1？

Kernel Density Estimator ( with Gauss Kernel ) Sum f(x) = 1?

c

c++

gaussian

kernel-density

probability-density