R：计算 log(exp(...)) 的最大浮点误差

Question

我正在处理一些编程问题，我必须在标准 space 和 log-space 之间转换概率。为此，我试图找出 最大绝对误差 中的浮点误差 R 用于输入为日志的计算 log(exp(...)) -概率（即非正数）。

目前我已经使用网格搜索计算出答案（参见下面的代码和图表），但我不确定我计算出的值是否正确。（我检查了其他一些范围，但图中显示的范围似乎得到了最大的绝对误差。）

#Set function for computing floating-point error of log(exp(...))
fp.error <- function(x) { abs(log(exp(x)) - x) }

#Compute and plot floating-point error over a grid of non-negative values
xx <- -(0:20000/10000)
ff <- fp.error(xx)
plot(xx, ff, col = '#0000FF10',
     main = 'Error in computation of log(exp(...))', 
     xlab = 'x', ylab = 'Floating-Point Error')

#Compute maximum floating-point error
fp.error.max <- max(ff)
fp.error.max
[1] 1.110223e-16

根据这个分析，我估计的最大绝对误差是 .Machine$double.eps（即 2.220446e-16）的一半。我不确定这是否有理论上的原因，或者我是否得到了错误的答案。

问题：有什么方法可以确定这是否真的是该计算的最大浮点误差？有没有理论上的方法可以计算最大值，或者这种网格搜索方法是否足够？

Answer 1

我认为您的答案是正确的。这里我把step细化到sqrt(.Machine$double.eps)，你会看到

> x <- seq(0, 2, by = sqrt(.Machine$double.eps))

> max(abs(log(exp(x)) - x))
[1] 1.110725e-16

但是，一旦您的 x 非常大，您将出现 Inf 错误，例如，

> (x <- .Machine$double.xmax)
[1] 1.797693e+308

> max(abs(log(exp(x)) - x))
[1] Inf

Answer 2

log(exp(x))的误差取决于x的值。如果你使用 float，x 也有一个精度，这取决于它的值。可以使用 nextafter 从 C:

计算精度

library(Rcpp)
cppFunction("double getPrec(double x) {
  return nextafter(x, std::numeric_limits<double>::infinity()) - x;}")

getPrec(2)
#[1] 4.440892e-16

getPrec(exp(2))
#[1] 8.881784e-16

或不使用 Rcpp:

getPrecR <- function(x) {
  y <- log2(pmax(.Machine$double.xmin, abs(x)))
  ifelse(x < 0 & floor(y) == y, 2^(y-1), 2^floor(y)) * .Machine$double.eps
}

另请参阅：。

Answer 3

一般来说，我建议使用随机方法生成更多 xs，例如：

x <- runif(10000000, 0, 2)

您的固定间隔值可能会偶然发现“有效”的模式。

也看你是关心绝对误差还是relative error。绝对误差应接近 .Machine$double.xmax，而相对误差随着 x 接近零而增加。例如。 log(exp(1e-16)) 被截断为零。

R：计算 log(exp(...)) 的最大浮点误差

R: Computing maximum floating-point error for log(exp(...))

floating-point

precision

r

floating-accuracy