在 3D 中找到从点到截锥的最短向量

Question

我正在尝试了解计算 3D 中点和截锥之间的最短向量的特定实现。原意介绍于this paper.

所以如果我们有两个球形物体：半径为 rA、位置为 pA 和速度为 vA 的物体 A 和半径为 rB、位置为 pB 和速度为 vB 的物体 B，那么我们可以用更简单的方式表示计算相对位置和相对速度，假设物体A是一个点，物体B的半径为rA + rB.

在 2D 中，这看起来像是从图 (a) 到图 (b) 的转换，其中 tau 只是一个标量因子： A

3D 图形类似，但不是圆形，而是球体。

现在，如果相对速度矢量位于灰色截锥内，我们应该找到矢量 u，它是相对速度 V 的最小变化移动到圆锥的圆周上，如下图所示（注意：P是相对位置）：

这有两种情况：

如果相对速度低于截止圆的中心（蓝色虚线下方）。在这种情况下 u 将在截止圆（较小的圆）上。

第二种情况，我不明白它是如何计算的，是当相对速度在小圆（球）的中心上方时，在这种情况下 u 将投影到圆锥体的切线上。 P和V向量所代表的平面与大球体的交点是一个圆u会躺着的。

    const Vector3 relativePosition = other->position_ - position_;
    const Vector3 relativeVelocity = velocity_ - other->velocity_;
    const float distSq = absSq(relativePosition);
    const float combinedRadius = radius_ + other->radius_;
    const float combinedRadiusSq = sqr(combinedRadius);

    Plane plane;
    Vector3 u;

    if (distSq > combinedRadiusSq) {
        /* No collision. */
        const Vector3 w = relativeVelocity - tau * relativePosition;
        /* Vector from cutoff center to relative velocity. */
        const float wLengthSq = absSq(w);

        const float dotProduct = w * relativePosition;

        if (dotProduct < 0.0f && sqr(dotProduct) > combinedRadiusSq * wLengthSq) {
            /* Project on cut-off circle. */
            const float wLength = std::sqrt(wLengthSq);
            const Vector3 unitW = w / wLength;

            plane.normal = unitW;
            u = (combinedRadius * tau - wLength) * unitW;
        }
        else {
            **/* Project on cone. I Don't understand this! */


            const float a = distSq;
            const float b = relativePosition * relativeVelocity;
            const float c = absSq(relativeVelocity) - absSq(cross(relativePosition, relativeVelocity)) / (distSq - combinedRadiusSq);
            const float t = (b + std::sqrt(sqr(b) - a * c)) / a;
            const Vector3 ww = relativeVelocity - t * relativePosition;
            const float wwLength = abs(ww);
            const Vector3 unitWW = ww / wwLength;
            plane.normal = unitWW;
            u = (combinedRadius * t - wwLength) * unitWW;**
        }
    }

我知道最后我们需要找到 t（如代码中所示）来缩放 P。但是，我不明白这里的叉积是怎么用的，我们要解的二次方程代表什么。

这个函数可以找到here。

Answer 1

…虽然我不明白collision avoidance模型是如何工作的，但似乎可以通过考虑围绕轴的一些角度来获得相关方程

顺便说一句，它看起来像一个不适合SO的纯数学问题。如果您想问这种问题，Mathematics Stack Exchange 可能是更好的地方。

附录：另一种方法

为了让 problem/answer 更加有意识，我想考虑另一种编码方法的可能性。由于我们可以在实际程序中毫不犹豫地使用很多数学函数（例如 asin()、sqrt()），因此也可以通过使用数学函数和 vector algebra,如下.

/* Project on cone. */
const float sin_phi = combinedRadius / std::sqrt(distSq);
const float cos_phi = std::cos(std::asin(sin_phi));

Vector3 E_axial = normalize(relativePosition);
Vector3 E_inplane = normalize(cross(cross(relativePosition, relativeVelocity), E_axial));

Vector3 E_dir = E_axial * cos_phi + E_inplane * sin_phi;

// Based on math: (s * E_dir - relativeVelocity) * E_dir = 0
const float s = relativeVelocity * E_dir;

u = s * E_dir - relativeVelocity;
plane.normal = -normalize(u);

在 3D 中找到从点到截锥的最短向量

Finding the shortest vector from a point to a truncated cone in 3D

linear-algebra

game-development

computational-geometry

附录：另一种方法