我可以安全地假设同构类型是相等的吗？
Can I safely assume that isomorphic types are equal?
设A与B为Type，f : A -> B与g : B -> A为反函数。换句话说 A 和 B 是同构类型。
- 真的不能证明
A <> B吗？
- 我可以安全地添加
A = B 的公理吗？
- 这个公理与 Coq 标准库的其他公理兼容吗？而且，如果是，为什么它不在标准库中？
这类问题是 homotopy type theory 的偏爱领域，但这里是对您的问题的初步综合回答。
在 CIC（± Coq 的理想理论）中，我们说两种类型 A 和 B 是 等价的 如果有函数 f : A -> B 与左逆 g : B -> A（即 f o g = id_B）和右逆 h : B -> A（即 h o f = id_B）。
您可以使用从 A 到 B 的同构来证明它们是等价的。
同伦类型理论关注的是在 CIC（或更确切地说是 MLTT）中添加一个称为 univalence 的公理，它粗略地表明类型之间的等价性和相等性是一致的（更准确地说，有一个映射id_to_equiv : A = B -> equiv A B 并且单价表示这张地图本身就是一个等价物）。
单价与 CIC 兼容，因为存在验证该公理的 CIC 模型。
所以回答你的问题：
- 是的，无法在 CIC 中证明
A <> B，因为任何此类证明都会与单价相矛盾（因此不存在 CIC + 单价的模型）
- 您将无法证明 False，因为它是具有模型的单价的特例，但是 Coq 的计算内容将部分丢失（因为添加任何公理总是如此） ).
- Univalence 与 Coq 标准库的某些公理兼容（例如 excluded-middle），但与其他公理不兼容（身份证明的唯一性，a.k.a。UIP，univalence 指出有 2 个证明布尔 = 布尔）。关于标准库没有单价性，源于标准库在 Prop 中定义了相等性，这与身份的多个见证人的存在不相容。但是，您提到的公理可能会以与 UIP 兼容的方式表述（Bauer 和 Winterhalter 在所谓的类型论基数模型上做了一些工作）。必须检查它是否与标准库中的其他公理兼容。
设A与B为Type，f : A -> B与g : B -> A为反函数。换句话说 A 和 B 是同构类型。
- 真的不能证明
A <> B吗？ - 我可以安全地添加
A = B的公理吗？ - 这个公理与 Coq 标准库的其他公理兼容吗？而且，如果是，为什么它不在标准库中？
这类问题是 homotopy type theory 的偏爱领域，但这里是对您的问题的初步综合回答。
在 CIC（± Coq 的理想理论）中，我们说两种类型 A 和 B 是 等价的 如果有函数 f : A -> B 与左逆 g : B -> A（即 f o g = id_B）和右逆 h : B -> A（即 h o f = id_B）。
您可以使用从 A 到 B 的同构来证明它们是等价的。
同伦类型理论关注的是在 CIC（或更确切地说是 MLTT）中添加一个称为 univalence 的公理，它粗略地表明类型之间的等价性和相等性是一致的（更准确地说，有一个映射id_to_equiv : A = B -> equiv A B 并且单价表示这张地图本身就是一个等价物）。
单价与 CIC 兼容，因为存在验证该公理的 CIC 模型。
所以回答你的问题：
- 是的，无法在 CIC 中证明
A <> B，因为任何此类证明都会与单价相矛盾（因此不存在 CIC + 单价的模型） - 您将无法证明 False，因为它是具有模型的单价的特例，但是 Coq 的计算内容将部分丢失（因为添加任何公理总是如此） ).
- Univalence 与 Coq 标准库的某些公理兼容（例如 excluded-middle），但与其他公理不兼容（身份证明的唯一性，a.k.a。UIP，univalence 指出有 2 个证明布尔 = 布尔）。关于标准库没有单价性，源于标准库在 Prop 中定义了相等性，这与身份的多个见证人的存在不相容。但是，您提到的公理可能会以与 UIP 兼容的方式表述（Bauer 和 Winterhalter 在所谓的类型论基数模型上做了一些工作）。必须检查它是否与标准库中的其他公理兼容。