O(mn) 比 O((m+n)^2) 好吗？
Is O(mn) better than O((m+n)^2)?
算法的输入是 m 和 n。
我算法的时间复杂度是O(mn)。
我有一个时间复杂度为 O((m+n)²) 的基准算法。
我的实现在时间复杂度方面是否优于基准？
是的，你的实现更好。回想一下 (m+n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn，所以 (m+n)^2 > mn
O(mn) 并非在所有情况下都优于 O((m+n)²)。
看这个案例：
O((m+n)²) = O(mn) 如果 m=O(n)
对于m=O(n)是可以引入一个新的变量(c:= max(n,m))
O((m+n)²) = O(m² + 2mn + n²)
= O(c² + 2cc + c²=
= O( 3* c²)
= O(c²)
O(mn) = O(cc) = O(c²)
所以在 n 和 m 仅相差一个常数的情况下，两个复杂度是相同的。
如评论所述if not m=O(n)
比 O(mn) 更好当且仅当 O(n²) > O(nm) 或 O(m²) > O(mn).
我的 Fazit：
根据你对“更好”的定义，你可以说：
O(mn)绝不会比O((m+n)²)
差
或
O(mn) 优于 O((m+n)²)
如此多的评论者和回答者希望只考虑 m = n 或至少它们之间存在常数因子的情况。这不是它的工作原理。
当我们保持 m 或 n 不变时，您的算法显然更快；例如，如果我们将自己限制在 m = 1 这种情况下，那么你的算法的复杂度是 O(n) 而备选方案是 O(n^2)，所以你的算法在这种受限情况下显然更好。
我们可以说的是，(m+n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn 显然是 Ω(mn)，其中 Ω 表示这是下限，并且您的算法（渐近地）总是至少同样好；即没有其他算法渐进地优于您的算法的限制情况。但我们确实知道在有限的情况下你的更好。所以，总的来说，你的更好。
算法的输入是 m 和 n。
我算法的时间复杂度是O(mn)。
我有一个时间复杂度为 O((m+n)²) 的基准算法。
我的实现在时间复杂度方面是否优于基准？
是的，你的实现更好。回想一下 (m+n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn，所以 (m+n)^2 > mn
O(mn) 并非在所有情况下都优于 O((m+n)²)。
看这个案例：
O((m+n)²) = O(mn) 如果 m=O(n)
对于m=O(n)是可以引入一个新的变量(c:= max(n,m))
O((m+n)²) = O(m² + 2mn + n²)
= O(c² + 2cc + c²=
= O( 3* c²)
= O(c²)
O(mn) = O(cc) = O(c²)
所以在 n 和 m 仅相差一个常数的情况下，两个复杂度是相同的。
如评论所述if not m=O(n)
比 O(mn) 更好当且仅当 O(n²) > O(nm) 或 O(m²) > O(mn).
我的 Fazit：
根据你对“更好”的定义，你可以说：
O(mn)绝不会比O((m+n)²)
差
或
O(mn) 优于 O((m+n)²)
如此多的评论者和回答者希望只考虑 m = n 或至少它们之间存在常数因子的情况。这不是它的工作原理。
当我们保持 m 或 n 不变时，您的算法显然更快；例如，如果我们将自己限制在 m = 1 这种情况下，那么你的算法的复杂度是 O(n) 而备选方案是 O(n^2)，所以你的算法在这种受限情况下显然更好。
我们可以说的是，(m+n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn 显然是 Ω(mn)，其中 Ω 表示这是下限，并且您的算法（渐近地）总是至少同样好；即没有其他算法渐进地优于您的算法的限制情况。但我们确实知道在有限的情况下你的更好。所以，总的来说，你的更好。