在 Lean 中对整数进行归纳会创建非 int 类型

Question

我想对整数变量使用归纳法，在正向和负向进行归纳。

考虑以下定理（为了演示，不管它是否有意义）：

theorem exmpl (x : ℤ) : (x = 5):=
begin
  induction x,
  -- inductive steps
end

在精益策略状态下产生：

case int.of_nat
x: ℕ
⊢ int.of_nat x = 5

case int.neg_succ_of_nat
x: ℕ
⊢ -[1+ x] = 5

按理说，感应产生两种情况，一种是正方向，一种是负方向。但同样发生的是 x 现在变成了一个自然数，在目标中它变成了 int.of_nat x 和 -[1+ x].

由于我的归纳法在整数内部运行，我假设这些类型是它们的某种“子集”，可能具有比整数更有用的属性。 Lean Reference 声明第二个似乎是“一个隐式参数，应该由类型 class 分辨率推断”，但没有进一步解释这意味着什么。

虽然这种转换对于某些应用程序可能是必需的，但在我的用例中，我只想继续使用整数，但没有找到将目标转换回使用整数的好方法。

所以我的问题是：

那些新类型 x 被转换成什么，它们是什么意思，为什么转换有意义？
而且，更重要的是：如何将目标改回可以再次使用整数的情况？

Answer 1

精益中的归纳策略使用基于类型定义的归纳原则。对于自然数，这个归纳原理是众所周知的。对于整数，定义有点不直观，给出了一个不是很有用的归纳原理。

在 Lean 中，整数被定义为两个自然数副本的不相交并集。这为您提供了从 nat 到 int 的两个函数，规范嵌入将 n 发送到 n，另一个映射将 n 发送到 -(n + 1)。每个整数都是唯一的 n 或 -(n + 1) 形式，其中 n 是自然数，整数的归纳原理基本上考虑了这两种情况，这不是很有用。在 Lean 中，这两个 nat 到 int 的映射称为 int.of_nat 和 int.neg_succ_of_nat，-[1+ x] 是 int.neg_succ_of_nat.

的表示法

所以虽然induction把x变成了一个自然数，但是int.of_nat x和-[1+ x]仍然是整数

如果你想要一种更有用的整数归纳法，你可以使用在 mathlib data.int.basic 中定义的定理 int.induction_on https://leanprover-community.github.io/mathlib_docs/data/int/basic.html 你可以通过导入这个来使用它文件（在 mathlib 网站上有关于安装和导入 mathlib 文件的文档）和使用 induction x using int.induction_on（此方法并不总是有效）或类似 apply int.induction_on x 或 refine int.induction_on x _ _ _ 的方法也可能有效。

还值得一提的是，在 Lean 中处理整数时很少使用归纳法，大多数情况下你只是使用库定理来证明你想要的大部分内容。

Answer 2

要对 Christopher Hughes 的回答做一点补充，int 类型在精益 3 核心中定义为：

inductive int : Type
| of_nat : nat → int
| neg_succ_of_nat : nat → int

参见 here。

induction 策略（即 induction x）在 inductive 类型不是递归的情况下与 cases x 相同，int不是——它的构造函数（例如 of_nat 和 neg_succ_of_nat）都没有将 int 作为参数（该类型仅作为输出出现）。因此，要证明精益中 int 的某些内容成立，您需要证明这些案例中的每一个都成立（没有额外的归纳假设）。然而，正如 Christopher Hughes 指出的那样，许多关于 int 的共同属性和定理已经被证明，并且在 Lean 3 核心库本身或 mathlib 中可用。然后，您可以将这些定理用作构建块来证明更复杂的概念。

在 Lean 中对整数进行归纳会创建非 int 类型

Induction on integers in Lean creates non-int types

types

type-conversion

induction

lean