检查 3D 点是否在基于正方形的金字塔中

Question

如果我有一个基于正方形的金字塔，我知道其中的每个点（全部 5 个），确定给定点是否在该金字塔内的算法是什么？我在这里看到了类似的问题 Algorithm for checking if 3D point inside convex polyhedron (square pyramid) and here How to check whether the point is in the tetrahedron or not?。那里给出的答案并没有真正帮助，数学也不适合我。我见过为每个平面（4 个三角形 + 1 个正方形）创建法线并检查该点位于平面的哪一侧的方法......但是我不知道正确的数学方法。

如果有人可以帮助我 math/algorithm（最好有解释），那真的很有帮助。

visualization

示例输入：

# Pyarmid Points
A = np.array([2, 2, 4]) # pyramid top
B = np.array([1, 1, 1]) 
C = np.array([1, 3, 3])
D = np.array([3, 3, 1])
E = np.array([3, 1, 1])

# Example points
point_inside = np.array([2, 2, 2])
point_outside = np.array([3, 3, 3])

示例期望：

def check_point_in_pyramid(A, B, C, D, E, Point):

    # math...
    
    if point_inside_pyramid:

        return true


    return false

所以对于 point_inside 函数 return 为真，对于 point_outside 为假。

Answer 1

是的，你可以使用法线解决这个问题。

为了获得正常，计算每个平面的两条边的叉积。小心法线方向 - 严格按顺序使用顶点以获得所有外部法线或所有内部法线。

然后检查所有平面法向量对的点积符号（平面中的顶点 - 要检查的点）。

在内部点的情况下，所有点积将具有相同的符号（或者当点属于平面时为零）。

外部点示例 - 注意不同的符号：

nabc = np.cross(B - A, C - A)
nacd = np.cross(C - A, D - A)
nade = np.cross(D - A, E - A)
naeb = np.cross(E - A, B - A)
nbcd = np.cross(D - B, C - B)

r = np.dot(point_outside - A, nabc)
print(r)
r = np.dot(point_outside - A, nacd)
print(r)
r = np.dot(point_outside - A, nade)
print(r)
r = np.dot(point_outside - A, naeb)
print(r)
r = np.dot(point_outside - B, nbcd)
print(r)

8
-4
-4
8
8

Answer 2

我这里是右为正左为负:

根据您的金字塔，它由 5 个面定义，因此也可以由 5 个平面定义。平面只是一个平面（没有体积；只有面积）表面。，由方程 ax + by + cz + d = 0 定义。但是，要回答您的问题，我们只需要平面的法线，它由上面等式的三个系数给出 N = (a, b, c).

假设我们使用了您图像中的平面 ACD。我们还可以通过这样的叉积找到平面的法线：(D - A) x (C - A)，这给了我们法线，N.

现在我们还需要一个方向向量，即从我们正在测试的3D点指向平面上的任何一点。为了简化，我们可以只使用其中一个点：A、C 或 D（让我们使用 A），因为它们仍然被认为是平面的一部分。

像这样：directionVector = point_outside - A

现在我们有这样的方法:

现在，如果我们对方向向量和法线进行点积 (float value = directionVector . N)，我们只会得到一个数值。

然而数值的符号告诉我们该点是在内部还是外部（3D 点在平面的哪一侧）。

所以如果 value > 0，点在金字塔内部（在平面的右侧）并且如果 value < 0，该点在金字塔外部（在平面的左侧）。

现在，如果对金字塔的所有其他 4 个平面重复此过程。如果全部 return一个正值，那么该点确实金字塔内部.但是，如果其中一个 return 是负值，则该点位于金字塔外 .

注意 1：确保平面的法线朝向金字塔外面而不是里面。

注意2：如果你把正负两边颠倒了（如果现在左为正右为负），一定要把不等式也颠倒过来

检查 3D 点是否在基于正方形的金字塔中

Check if a 3D point is in a square based pyramid or not

python

math

3d

coordinates