端到端加密：public 密钥和私钥如何既不同又兼容？
End-to-end encryption: How can a public key and a private key be different, yet compatible?
由于public密钥用于加密消息，私钥用于解密消息，那么私钥和public密钥怎么可能相互兼容呢？绿钥匙怎么开红锁的门？
这是我的想法：
Hello被public密钥加密，变成%/))=。然后私钥解密消息。但由于密钥不同，生成的消息可能与已发送的消息不同 - 例如 &#(($。
当然，我知道现实生活中使用的encryption/decryption算法是不同的，但问题是可以理解的。密钥是如何制作的，使得一个只能加密，另一个只能解密，同时两者都具有足够的信息以便彼此兼容？是处理这个问题的算法吗？
我认为你对它的概念有点误解；尝试用错误的密钥解密它不会得到错误的答案，您根本无法获得有效的解决方案...
如果你乘以2个质数（1是私钥，另一个是public密钥）那么唯一能整除它的就是它本身，1和2个质数。
虽然您可以遍历每个素数来找出它是由哪些素数组成的（通过检查它是否能整除为整数），但没有快速的方法来做到这一点。
例如，如果我说 91，它是由 7 和 13 组成的并不是很明显，如果您尝试将 91 除以任何其他值，您将不会得到整数答案。
当这些数字更长时，计算时间会呈指数增长，因此现代计算机需要等到宇宙热寂才能解出它们，因此它实际上是牢不可破的。
Tom Scott 在这段视频中解释得很好：https://www.youtube.com/watch?v=CINVwWHlzTY
Public-密钥密码学首先由 W. Diffie 和 M. Hellman 在他们的开创性论文“New Directions in Cryptography" (1976), in which they suggested that such system would be based on a trapdoor function 中描述。这样的假设函数很容易计算，但计算它的反函数efficiently 需要额外的信息，这将是私钥。（这篇论文很短，值得完整阅读，很少有一篇 11 页的论文对其领域有如此大的贡献。）
如另一个答案中所述，此类函数的一个示例可以基于整数分解问题：将两个素数相乘很容易，但没有有效的（经典）算法来找到乘积的分解。后来，Rivest、Shamir 和 Adleman 发明了基于该假设的 first public-key algorithm（虽然未被证实，但很合理）。
简而言之，可以取一对(e, N)作为一个public键，其中
e 是小质数（通常是 65537）N 是两个非常大的不同素数 p 和 q 的乘积，因此 gcd(e, φ(N))=1，其中 φ(N) = (p-1)*(q-1).
然后你可以找到d，这样：
cipher = plaintext ^ e mod N
plaintext = cipher ^ d mod N
这个d就是私钥。这里的技巧是，为了找到这样的 d，有必要知道 N 的因式分解，即 p 和 q。 （正如@kelalaka 在评论和 his post 中指出的那样，在没有密钥的情况下，分解可能不是恢复纯文本所必需的，但是还没有人找到解决它的方法，所以这是另一个假设。）你可以在上面的 RSA link 中阅读更多详细信息。
用铅笔和纸很容易计算 RSA。它不提供任何安全性，但它可能会帮助您了解 public 和私钥如何不同但如何协同工作。
让我们使用 modulus，n = 143 和 public 键，e = 7和私钥，d = 43。这些数字的确定方式有些“神奇”，要提供真正的安全性，它们需要大得多。这里的问题是 143 是 public 密钥的一部分，它足够小，可以很容易地分解为素数 11 和 13，它们是导致私钥的神奇成分。
我们可以用这对密钥对数字 [0, n) 进行加密，因此我们将用数字 0–25 代替字母 A–Z。
RSA加密是c=memodn，其中m是“消息”，我们的编码字母, c 是该字母的密文。让我们逐个字母地加密“HELO”。
- H -> 7: 77 mod 143 = 6
- E -> 4: 47 mod 143 = 82
- L -> 11: 117 mod 143 = 132
- O -> 14: 147 mod 143 = 53
RSA解密为m=cdmodn
- 643 mod 143 = 7 -> H
- 8243 mod 143 = 4 -> E
- 13243 mod 143 = 11 -> L
- 5343 mod 143 = 14 -> O
因此，您可以看到 public 密钥 7 与私钥 43 不同，但它们与 modulus 143 在 mod 下协同工作求幂以提供可逆转换。
这是用来产生协同工作的密钥对的“魔法”。
- 选择两个质数：p = 11, q = 13
- 计算modulus：n = p x q = 143
- 计算总和：λ(n) = lcm(p - 1, q - 1) = lcm(10, 12) = 60
- 选择 public 与 λ(n) 互质的密钥 e: e = 7
- 确定私钥d: d = e-1 mod λ(n) = 43
由于public密钥用于加密消息，私钥用于解密消息，那么私钥和public密钥怎么可能相互兼容呢？绿钥匙怎么开红锁的门？
这是我的想法：
Hello被public密钥加密，变成%/))=。然后私钥解密消息。但由于密钥不同，生成的消息可能与已发送的消息不同 - 例如 &#(($。
当然，我知道现实生活中使用的encryption/decryption算法是不同的，但问题是可以理解的。密钥是如何制作的，使得一个只能加密，另一个只能解密，同时两者都具有足够的信息以便彼此兼容？是处理这个问题的算法吗？
我认为你对它的概念有点误解；尝试用错误的密钥解密它不会得到错误的答案，您根本无法获得有效的解决方案...
如果你乘以2个质数（1是私钥，另一个是public密钥）那么唯一能整除它的就是它本身，1和2个质数。
虽然您可以遍历每个素数来找出它是由哪些素数组成的（通过检查它是否能整除为整数），但没有快速的方法来做到这一点。
例如，如果我说 91，它是由 7 和 13 组成的并不是很明显，如果您尝试将 91 除以任何其他值，您将不会得到整数答案。
当这些数字更长时，计算时间会呈指数增长，因此现代计算机需要等到宇宙热寂才能解出它们，因此它实际上是牢不可破的。
Tom Scott 在这段视频中解释得很好：https://www.youtube.com/watch?v=CINVwWHlzTY
Public-密钥密码学首先由 W. Diffie 和 M. Hellman 在他们的开创性论文“New Directions in Cryptography" (1976), in which they suggested that such system would be based on a trapdoor function 中描述。这样的假设函数很容易计算，但计算它的反函数efficiently 需要额外的信息，这将是私钥。（这篇论文很短，值得完整阅读，很少有一篇 11 页的论文对其领域有如此大的贡献。）
如另一个答案中所述，此类函数的一个示例可以基于整数分解问题：将两个素数相乘很容易，但没有有效的（经典）算法来找到乘积的分解。后来，Rivest、Shamir 和 Adleman 发明了基于该假设的 first public-key algorithm（虽然未被证实，但很合理）。
简而言之，可以取一对(e, N)作为一个public键，其中
e是小质数（通常是 65537）N是两个非常大的不同素数p和q的乘积，因此gcd(e, φ(N))=1，其中φ(N) = (p-1)*(q-1).
然后你可以找到d，这样：
cipher = plaintext ^ e mod N
plaintext = cipher ^ d mod N
这个d就是私钥。这里的技巧是，为了找到这样的 d，有必要知道 N 的因式分解，即 p 和 q。 （正如@kelalaka 在评论和 his post 中指出的那样，在没有密钥的情况下，分解可能不是恢复纯文本所必需的，但是还没有人找到解决它的方法，所以这是另一个假设。）你可以在上面的 RSA link 中阅读更多详细信息。
用铅笔和纸很容易计算 RSA。它不提供任何安全性，但它可能会帮助您了解 public 和私钥如何不同但如何协同工作。
让我们使用 modulus，n = 143 和 public 键，e = 7和私钥，d = 43。这些数字的确定方式有些“神奇”，要提供真正的安全性，它们需要大得多。这里的问题是 143 是 public 密钥的一部分，它足够小，可以很容易地分解为素数 11 和 13，它们是导致私钥的神奇成分。
我们可以用这对密钥对数字 [0, n) 进行加密，因此我们将用数字 0–25 代替字母 A–Z。
RSA加密是c=memodn，其中m是“消息”，我们的编码字母, c 是该字母的密文。让我们逐个字母地加密“HELO”。
- H -> 7: 77 mod 143 = 6
- E -> 4: 47 mod 143 = 82
- L -> 11: 117 mod 143 = 132
- O -> 14: 147 mod 143 = 53
RSA解密为m=cdmodn
- 643 mod 143 = 7 -> H
- 8243 mod 143 = 4 -> E
- 13243 mod 143 = 11 -> L
- 5343 mod 143 = 14 -> O
因此，您可以看到 public 密钥 7 与私钥 43 不同，但它们与 modulus 143 在 mod 下协同工作求幂以提供可逆转换。
这是用来产生协同工作的密钥对的“魔法”。
- 选择两个质数：p = 11, q = 13
- 计算modulus：n = p x q = 143
- 计算总和：λ(n) = lcm(p - 1, q - 1) = lcm(10, 12) = 60
- 选择 public 与 λ(n) 互质的密钥 e: e = 7
- 确定私钥d: d = e-1 mod λ(n) = 43