使用主方法求解 T(n) = 2T(n/2) + n/log n 和 T(n) = 4T(n/2) + n/log n 之间的区别

Question

我最近偶然发现了一个资源，其中 2T(n/2) + n/log n type 的复发被 MM 宣布为无法解决。

我接受它作为引理，直到今天，当另一个资源被证明是矛盾的（在某种意义上）。

根据资源（下面的link）：其中的 Q7 和 Q18 是 rec。 1和2分别在whything的问题中，Q7的回答说不能通过给出原因'Polynomial difference b/w f(n) and n^(log a base b)'来解决。相反，答案 18 使用案例 1 解决了第二次重复（在此处的问题中）。

http://www.csd.uwo.ca/~moreno/CS433-CS9624/Resources/master.pdf

有人可以解惑吗？

Answer 1

这是因为在 Q18 中我们有 a = 4 和 b = 2，因此我们得到 n^{log(b,a)} = n^2 其指数严格大于 [=13 的多项式部分的指数=].

Answer 2

如果您尝试将主定理应用于

T(n) = 2T(n/2) + n/log n

你认为 a = 2, b = 2 这意味着 logb(a) = 1

你能应用案例1吗？0 < c < logb(a) = 1。是n/logn = O(n^c)。不，因为 n/logn 比 n^c
你能应用案例2吗？不。 c = 1 你需要找到一些 k > 0 这样 n/log n = Theta(n log^k n )
你能应用案例3吗？ c > 1，是n/logn = Big Omega(n^c)吗？不，因为它甚至不是 Big Omega(n)

如果您尝试将主定理应用于

T(n) = 4T(n/2) + n/log n

你认为 a = 4, b = 2 这意味着 logb(a) = 2

你能应用案例1吗？ c < logb(a) = 2。是 n/logn = O(n^0) 或 n/logn = O(n^1)。确实 n/logn = O(n)。因此我们有
```
T(n) = Theta(n^2)
```

注：关于0 < c <1的解释，案例1

案例 1 更多关于分析。

f(x) = x/log(x) , g(x) = x^c , 0< c < 1
f(x) is O(g(x)) if f(x) < M g(x) after some x0, for some M finite, so 
f(x) is O(g(x)) if f(x)/g(x) < M cause we know they are positive

这不是真的我们提出 y = log x

f2(y) = e^y/y , g2(y) = e^cy , 0< c < 1
f2(y)/g2(y) = (e^y/y) / (e^cy) = e^(1-c)y / y  , 0< c < 1

lim inf f2(y)/g2(y) = inf
lim inf f(x)/g(x) = inf

使用主方法求解 T(n) = 2T(n/2) + n/log n 和 T(n) = 4T(n/2) + n/log n 之间的区别

Difference between solving T(n) = 2T(n/2) + n/log n and T(n) = 4T(n/2) + n/log n using Master Method

algorithm

asymptotic-complexity

recurrence