我如何 select 最小化图中其他节点的最大最短距离的节点？
How do I select the node that minimizes the maximum shortest distance to the other nodes in a graph?
我有一个无向、连通、正加权图 G = <V,E>。我需要在 V 中找到 一个节点 v_min 以使 v_min 与其他节点之间的最大距离最小化。我了解到这是 k-center 问题（即 k=1）的一个特殊问题，已知它是 NP-Hard。但是，由于我们限制 k 等于 1，我认为问题仍然可以有效解决。
我现在的方法是：计算V中节点之间的所有对距离，例如，使用Floyd-Warshall，或重复调用Dijkstra。然后，我们向下查看节点列表，找到使该节点与其他节点之间的最大距离最小的节点。如果满足这个条件的节点不止一个，就挑一个。
- 这种方法正确吗？
- 有没有更好的方法（即更有效）？
请注意，我对近似算法不感兴趣，只对精确算法感兴趣。
您正在寻找的节点称为图形中心或约旦中心，您找到它们的方法是常用方法。 Floyd-Warshall 是找到节点之间所有距离的快速方法，迭代结果以找到最小最大值将花费更少的时间。
对于大多数用途来说，这应该足够快了，不可能做得更好。如果性能是最重要的，您可以看看 this 2019 paper，它引入了一种新算法，他们声称该算法可更好地并行化，并且通常比 Floyd-Warshall 稍快。
加速重复 Dijkstra
如果您使用重复的 Dijkstra 来计算所有成对距离（这是稀疏图的更有效选择），有一个简单的观察可以节省您执行许多迭代的时间——我预计大约平均一半。
因为图是无向的，一旦我们计算了到某个根顶点 v 的所有距离，我们也知道距离 从 每个其他顶点 到 v. 令 u 为距 v 最大距离处的顶点；称这个距离为d。那么 u 不可能是比 v 更好的选择，因为我们只关心它到任何其他顶点的最大距离，并且我们已经知道它与某个顶点（即 v）的距离为 d，因此它的最大值距离不能小于这个。因此，运行从 u 开始的 Dijkstra 搜索没有意义。
IOW，在从某个特定的起始顶点 运行ning Dijkstra 之后，我们可以从我们需要 运行 Dijkstra 最短路径的顶点列表中以最大距离交叉所有顶点从中搜索。可能有多个这样的顶点。
注意这个优化并没有改变渐近时间复杂度，在最坏的情况下，它只节省了1次迭代（可能是除了第一次之外，所有的最大距离顶点都已经被处理过了） ).但在最好的情况下——当所有顶点与最初选择的顶点的距离相等时——我们可以在 运行 完成初始 Dijkstra 搜索后完成。
我有一个无向、连通、正加权图 G = <V,E>。我需要在 V 中找到 一个节点 v_min 以使 v_min 与其他节点之间的最大距离最小化。我了解到这是 k-center 问题（即 k=1）的一个特殊问题，已知它是 NP-Hard。但是，由于我们限制 k 等于 1，我认为问题仍然可以有效解决。
我现在的方法是：计算V中节点之间的所有对距离，例如，使用Floyd-Warshall，或重复调用Dijkstra。然后，我们向下查看节点列表，找到使该节点与其他节点之间的最大距离最小的节点。如果满足这个条件的节点不止一个，就挑一个。
- 这种方法正确吗？
- 有没有更好的方法（即更有效）？ 请注意，我对近似算法不感兴趣，只对精确算法感兴趣。
您正在寻找的节点称为图形中心或约旦中心，您找到它们的方法是常用方法。 Floyd-Warshall 是找到节点之间所有距离的快速方法，迭代结果以找到最小最大值将花费更少的时间。
对于大多数用途来说，这应该足够快了，不可能做得更好。如果性能是最重要的，您可以看看 this 2019 paper，它引入了一种新算法，他们声称该算法可更好地并行化，并且通常比 Floyd-Warshall 稍快。
加速重复 Dijkstra
如果您使用重复的 Dijkstra 来计算所有成对距离（这是稀疏图的更有效选择），有一个简单的观察可以节省您执行许多迭代的时间——我预计大约平均一半。
因为图是无向的，一旦我们计算了到某个根顶点 v 的所有距离，我们也知道距离 从 每个其他顶点 到 v. 令 u 为距 v 最大距离处的顶点；称这个距离为d。那么 u 不可能是比 v 更好的选择，因为我们只关心它到任何其他顶点的最大距离，并且我们已经知道它与某个顶点（即 v）的距离为 d，因此它的最大值距离不能小于这个。因此，运行从 u 开始的 Dijkstra 搜索没有意义。
IOW，在从某个特定的起始顶点 运行ning Dijkstra 之后，我们可以从我们需要 运行 Dijkstra 最短路径的顶点列表中以最大距离交叉所有顶点从中搜索。可能有多个这样的顶点。
注意这个优化并没有改变渐近时间复杂度，在最坏的情况下，它只节省了1次迭代（可能是除了第一次之外，所有的最大距离顶点都已经被处理过了） ).但在最好的情况下——当所有顶点与最初选择的顶点的距离相等时——我们可以在 运行 完成初始 Dijkstra 搜索后完成。