任意凸多边形中具有固定纵横比的最大对齐矩形？

Question

如何计算任意凸面固定纵横比的最大对齐矩形的宽度/高度多边形?

此图显示了不同凸多边形（黑色）中的此类矩形（红色）的示例：

.

我找到了关于主题的不同论文，但它们不适合我的局限性。这很奇怪，因为他们应该大大简化算法，但不幸的是我没有找到任何线索。

Answer 1

固定比率确实简化了问题，因为现在有了线性程序。

你想找到 x1, y1, x2, y2 来最大化 x2 − x1 服从 (x2 − x1) h = w (y2 − y1) 的约束，其中宽高比为 w:h，对于定义凸多边形的每个线性不等式，每个点 (x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2) 都满足它。

例如，考虑这个凸多边形：

四点矩形的线性规划(x_1, y_1), (x_1, y_2), (x_2, y_2), (x_2, y_1),纵横比r = w / h 与上面的多边形内接如下:

理论上，存在线性时间运行的低维线性规划的专门算法。在实践中，你可以向它扔一个求解器。如果你想自己编写代码，那么你可以使用单纯形法，但梯度下降更简单。

首先，让我们通过在变量 x、y、z 上最大化 z 来摆脱等式约束和变量，并遵守多边形中的点约束 x1 = (x − w z), y1 = (y − h z ), x2 = (x + w z), y2 = (y + h z)。其次，让我们用 objective 项来交换这些约束。通常，多边形中的点约束看起来像（到半平面的有符号距离）≤ 0。相反，我们将对 objective 应用惩罚项。设 α > 0 为参数。新项是 −exp(α（到半平面的符号距离））。如果带符号的距离为负（该点在半平面内），则随着 α 趋于无穷大，惩罚将趋于零。如果符号距离为正，则惩罚变为负无穷大。如果我们让α足够大，那么变换后的问题的最优解将是近似可行的。

这是 Python 中的样子。我不是持续优化专家，所以买者自负。

# Aspect ratio.
w = 3
h = 2

# Represented as intersection of half-spaces a*x + b*y - c <= 0 given below as
# (a, b, c). For robustness, these should be scaled so that a**2 + b**2 == 1,
# but it's not strictly necessary.
polygon = [(1, 1, 20), (1, -2, 30), (-2, 1, 40)]

# Initial solution -- take the centroid of three hull points. Cheat by just
# using (0, 0) here.
x, y, z = (0, 0, 0)

from math import exp

# Play with these.
alpha = 10
rate = 0.02

for epoch in range(5):
    for iteration in range(10 ** epoch, 10 ** (epoch + 1)):
        # Compute the gradient of the objective function. Absent penalties, we
        # only care about how big the rectangle is, not where.
        dx, dy, dz = (0, 0, 1)
        # Loop through the polygon boundaries, applying penalties.
        for a, b, c in polygon:
            for u in [-w, w]:
                for v in [-h, h]:
                    term = -exp(alpha * (a * (x + u * z) + b * (y + v * z) - c))
                    dx += alpha * a * term
                    dy += alpha * b * term
                    dz += alpha * (a * u + b * v) * term
        x += rate * dx
        y += rate * dy
        z += rate * dz
    print(x, y, z)

Answer 2

提示：

WLOG 矩形可以是正方形（必要时拉伸 space）。

然后由距离图的最高点到多边形的切比雪夫度量 (L∞) 中的最高点给出解决方案。它可以从中轴变换中确定，中轴变换本身是从 Voronoi 图获得的。

任意凸多边形中具有固定纵横比的最大对齐矩形？

The largest aligned rectangular with fixed aspect ratio in an arbitrary convex polygon?

algorithm

geometry

computational-geometry

convex-optimization