如何计算n掷m面骰子的总和为某个值或更大的概率

Question

我正在尝试编写一些 Python 代码来计算 n 个掷出的 m 个单面公平骰子的总和为某个值或更大值的概率。输入是所有掷骰子的总和、掷骰数和骰子的面数。输出是骰子总和等于或大于该值的百分比机会。

我的计算基于我在这篇论文中找到的方程式，并将其缩放为任何被滚动任意次数的双面骰子：https://digitalscholarship.unlv.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1025&context=grrj

我编写了一些“有效”的代码，但当骰子有很多面时速度非常慢，因此仅对 20 个面或更少面的骰子有用。

import numpy as np

def probability_calculator(roll_total, num_of_rolls, dice_faces):       

    if num_of_rolls == 0:
        probability = 100    
    elif num_of_rolls == 1:
        probability = (dice_faces + 1 - roll_total) * 100/dice_faces    
    else:
        inverse = (dice_faces ** num_of_rolls) ** -1
        side_list = np.linspace(1, dice_faces, dice_faces)
        expanded_list = np.zeros(dice_faces * num_of_rolls)         
        stacked_side_list = side_list   

        for i in range(num_of_rolls - 1):
            stacked_side_list = np.vstack((stacked_side_list, side_list))
            
        index_array = np.zeros(num_of_rolls, dtype=int)
            
        while True:                
            value = 0

            for i in range(num_of_rolls):                    
                value = value + stacked_side_list[i][index_array[i]]
                
           expanded_list[int(value) - 1] += 1

           if sum(index_array) == (dice_faces - 1) * num_of_rolls:
               break

           for i in range(num_of_rolls):  
               if index_array[i] == dice_faces - 1:
                   index_array[i] = 0          
               else:
                    index_array[i] += 1                        
                    break

       probability = inverse * sum(expanded_list[roll_total - 1:]) * 100
  
   return probability

如您所见，这是非常低效的代码，如果您只掷四个 100 面的骰子，您将不得不迭代 while 循环 100^4 = 100,000,000 次.....

我很确定有一些数学方程式可以简化这段代码并使它运行快很多数量级，但数学不是我最喜欢的科目而且我不知道任何方程式或Python 可以提供帮助的功能。

Answer 1

快速浏览了一下论文，被公式吓到了。实施了一种可能不同的方式，简单地计算达到不同总数的频率：

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def sum_freq(total, rolls, faces):
        if not rolls:
            return not total
        return sum(sum_freq(total - die, rolls - 1, faces)
                   for die in range(1, faces + 1))

def probability_calculator(roll_total, num_of_rolls, dice_faces):
    return sum_freq(roll_total, num_of_rolls, dice_faces) / dice_faces**num_of_rolls

“四个 100 面骰子”演示：

prob_314 = probability_calculator(314, 4, 100)
prob_any = sum(probability_calculator(total, 4, 100)
               for total in range(1, 401))
print(f'{prob_314:%}')
print(f'{prob_any:%}')

输出：

0.113564%
100.000000%

十 100 面骰子的输出：

0.050065%
100.000000%

42 个这样的 100 面骰子的输出：

0.000000%
100.000000%

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如何计算n掷m面骰子的总和为某个值或更大的概率

How to calculate the probability of the sum of n rolled m sided dice of being a certain value or greater

python

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