公式，圆的周长与矩形的角相交

Question

注：关于圆的一切都是未知的。只知道矩形的宽度和高度。

我设计了一个公式来确定圆的直径，无论矩形的比例是多少（或者至少如果宽度大于高度），圆的周长都与矩形的底部两个角相交).公式如下，其中W指矩形的宽度，H指矩形的高度：

X = W / H
Diameter = ((X/4) + (1/X)) * W

有没有人知道更多 eloquent 的计算方法，或者是否有已知的算法可以更有效地做到这一点？

Answer 1

设圆心为(0, 0),直径为D,长方形的宽为W,高为H,点(±W/2,D/2 − H) 应该位于圆上，毕达哥拉斯认为当且仅当

(W/2)² + (D/2 − H)² = (D/2)².

展开二项式，两边减去(D/2)²，得到

W²/4 − D H + H² = 0.

通过在两边加上 D H 再除以 H 来求解 D，我们得到

D = W²/(4 H) + H.

在代码中可能如下所示。

double diameter(double width, double height) {
  return width * width / (4 * height) + height;
}