无论如何要使这个模型适合这些数据点？

Question

我一直在尝试将这些数据点拟合到指数模型 y=ae^(px+qx^2)。我需要这个模型拟合的原因是由于 Gö运行 Englund 2011 的论文 “功能响应的温度依赖性” 他们在数据点上拟合了这个模型，如中所述其中一个数字。我需要将其与我发现的一些数据相匹配，这些数据是我在对我在论文中研究的 ODE 模型进行文献综述时发现的。但是，无论我做什么，我都无法使用 curvefit() 函数拟合它，即使我的猜测 p0 非常接近。下面是我的代码和我的拟合图，当时我只是猜测拟合参数 a、p 和 q，直到我得到一个非常接近的拟合。

k = 0.00008617
def NormalizeData(data):
    return (data - np.min(data)) / (np.max(data) - np.min(data))

def C_to_A(C):
    return -1/(k*(C+273))

def model(x, a, p,q):
    return a*np.exp(p*x+q*x**2)

# Input data
x = C_to_A(np.array([11, 11, 11,15,15,15,20,20,20,25,25,25,29,29,29]))
y = NormalizeData(np.array([2.048, 1.56, 1.18, 2.6116,2.35,2.1036,2.97, 2.97, 2.97, 2.463,2.05,1.6679,1.825,1.0939,0.534]))
# do the fit with some initial values
popt, pcov = curve_fit(model, x, y, p0=(9.7*10**-139.95, -16, -0.2))

# prepare some data for a plot
xx = np.linspace(-60, 0)
yy = model(xx, *popt)

plt.plot(x, y, 'o', xx, yy)
plt.title('Exponential Fit')
plt.ylim(0,1.1)
plt.xlim(-50,32)
plt.grid()
plt.show()
print(popt)

如果我只是用数据点和我猜测的系数绘制模型 a=9.7*10**-139.95, p=-16, q=-0.2 我得到下面的图片

这与我想要的非常接近。关于如何使用我提到的模型来处理这种拟合有什么建议吗？任何事情都会有所帮助！

Answer 1

y=ae^(px+qx^2)表示log(y) = c + px + qx^2，其中c=log(a)、p、q为参数。您可以使用 y 在 x 和 x^2.

上的线性回归来估计参数

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.api import OLS
import matplotlib.pyplot as plt


def C_to_A(C, k=0.00008617):
    return -1/(k*(C+273))

# choice of k is arbitrary, change as you wish
x = C_to_A(np.array([11, 11, 11,15,15,15,20,20,20,25,25,25,29,29,29]), k=1)
y = np.array([2.048, 1.56, 1.18, 2.6116,2.35,2.1036,2.97, 2.97, 2.97, 2.463,2.05,1.6679,1.825,1.0939,0.534])


# want to regress log(y) on x, x^2, constant
# create data for this
data = pd.DataFrame({"y":y, "x":x})
data["log_y"] = np.log(data.y)
data["x2"] = data.x**2
data["const"] = 1
data

使用来自 statsmodels 的 OLS 估计参数：

Y = data.log_y
X = data[["x", "x2", "const"]]

ols = OLS(Y, X, hasconst=True).fit()
ols.summary()

对于绘图，ols 的拟合值属性很方便。我们使用 exp:

将 log(y) 转换为 y

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, np.exp(ols.fittedvalues))

无论如何要使这个模型适合这些数据点？

Anyway to fit this model to these data points?

python

curve-fitting

curve

data-fitting

model-fitting