在 Python 中完成或扩展正交基
Complete or Extend Orthonormal Basis in Python
我有几个正交向量。我想将这个二维基础扩展到更大的基础。使用 NumPy 在 Python 中执行此操作的最快方法是什么？
我的想法如下：生成所需大小的随机向量 (new_dimension > 2)，通过用前两个减去缩放点积来执行 Gram-Schmidt。重复。我怀疑这是最快的方法...
您没有指定 space 的尺寸。 如果是3，那么你可以简单地使用你的两个向量的cross product。如果不是，请看下面。
3-D 示例
# 1. setup: an orthonormal basis of two vectors a, b
np.random.seed(0)
a, b = np.random.uniform(size=(2,3))
a /= np.linalg.norm(a)
b -= a.dot(b)*a
b /= np.linalg.norm(b)
# 2. check:
>>> np.allclose([1,1,0,0], [a.dot(a), b.dot(b), a.dot(b), b.dot(a)])
True
然后，制作一个新的矢量：
# 3. solve
c = np.cross(a, b)
# 4. checks
>>> np.allclose([1,0,0], [c.dot(c), c.dot(a), c.dot(b)])
True
如果向量的维数更高，那么您可以选择不在 a,b 定义的平面内的任何向量并减去该投影，归一化。
更高维度的示例
# 1. setup
n = 5
np.random.seed(0)
a, b = np.random.uniform(size=(2, n))
a /= np.linalg.norm(a)
b -= a.dot(b)*a
b /= np.linalg.norm(b)
# 2. check
assert np.allclose([1,1,0,0], [a.dot(a), b.dot(b), a.dot(b), b.dot(a)])
然后：
# 3. solve
ab = np.c_[a, b]
c = np.roll(a + b, 1) # any vector unlikely to be 0 or some
# linear combination of a and b
c -= (c @ ab) @ ab.T
c /= np.linalg.norm(c)
# 4. check
abc = np.c_[a, b, c]
>>> np.allclose(np.eye(3), abc.T @ abc)
True
泛化：在 n-D space
中补充 m-基础
在 n 维 space 中，给定 (n, m) 正交基 x 和 m s.t。 1 <= m < n（换句话说，n 维 space 中的 m 个向量放在一起作为 x 的列）：找到 n - m 个向量是正交的，并且都与 x.
正交
我们可以使用 SVD 一次完成。
# 1. setup
# we use SVD for the setup as well, for convenience,
# but it's not necessary at all. It is sufficient that
# x.T @ x == I
n, m = 6, 2 # for example
x, _, _ = np.linalg.svd(np.random.uniform(size=(n, m)))
x = x[:, :m]
# 2. check
>>> np.allclose(x.T @ x, np.eye(m))
True
>>> x.shape
(6, 2)
所以，在这一点上，x 是标准正交的并且形状为 (n, m)。
发现 y 是与 x 正交的（可能有许多）正交基之一：
# 3. solve
u, s, v = np.linalg.svd(x)
y = u[:, m:]
# 4. check
>>> np.allclose(y.T @ y, np.eye(n-m))
True
>>> np.allclose(x.T @ y, 0)
True
我有几个正交向量。我想将这个二维基础扩展到更大的基础。使用 NumPy 在 Python 中执行此操作的最快方法是什么？
我的想法如下：生成所需大小的随机向量 (new_dimension > 2)，通过用前两个减去缩放点积来执行 Gram-Schmidt。重复。我怀疑这是最快的方法...
您没有指定 space 的尺寸。 如果是3，那么你可以简单地使用你的两个向量的cross product。如果不是，请看下面。
3-D 示例
# 1. setup: an orthonormal basis of two vectors a, b
np.random.seed(0)
a, b = np.random.uniform(size=(2,3))
a /= np.linalg.norm(a)
b -= a.dot(b)*a
b /= np.linalg.norm(b)
# 2. check:
>>> np.allclose([1,1,0,0], [a.dot(a), b.dot(b), a.dot(b), b.dot(a)])
True
然后，制作一个新的矢量：
# 3. solve
c = np.cross(a, b)
# 4. checks
>>> np.allclose([1,0,0], [c.dot(c), c.dot(a), c.dot(b)])
True
如果向量的维数更高，那么您可以选择不在 a,b 定义的平面内的任何向量并减去该投影，归一化。
更高维度的示例
# 1. setup
n = 5
np.random.seed(0)
a, b = np.random.uniform(size=(2, n))
a /= np.linalg.norm(a)
b -= a.dot(b)*a
b /= np.linalg.norm(b)
# 2. check
assert np.allclose([1,1,0,0], [a.dot(a), b.dot(b), a.dot(b), b.dot(a)])
然后：
# 3. solve
ab = np.c_[a, b]
c = np.roll(a + b, 1) # any vector unlikely to be 0 or some
# linear combination of a and b
c -= (c @ ab) @ ab.T
c /= np.linalg.norm(c)
# 4. check
abc = np.c_[a, b, c]
>>> np.allclose(np.eye(3), abc.T @ abc)
True
泛化：在 n-D space
中补充 m-基础
在 n 维 space 中，给定 (n, m) 正交基 x 和 m s.t。 1 <= m < n（换句话说，n 维 space 中的 m 个向量放在一起作为 x 的列）：找到 n - m 个向量是正交的，并且都与 x.
我们可以使用 SVD 一次完成。
# 1. setup
# we use SVD for the setup as well, for convenience,
# but it's not necessary at all. It is sufficient that
# x.T @ x == I
n, m = 6, 2 # for example
x, _, _ = np.linalg.svd(np.random.uniform(size=(n, m)))
x = x[:, :m]
# 2. check
>>> np.allclose(x.T @ x, np.eye(m))
True
>>> x.shape
(6, 2)
所以，在这一点上，x 是标准正交的并且形状为 (n, m)。
发现 y 是与 x 正交的（可能有许多）正交基之一：
# 3. solve
u, s, v = np.linalg.svd(x)
y = u[:, m:]
# 4. check
>>> np.allclose(y.T @ y, np.eye(n-m))
True
>>> np.allclose(x.T @ y, 0)
True