算法题：最大的连续子数组选择

Question

问。给定两个长度相等的数组 A 和 B，找到索引 [i,j] 的最大可能连续子数组，使得 max(A[i: j]) < min(B[i: j]).

示例：A = [10, 21, 5, 1, 3], B = [3, 1, 4, 23, 56]

解释：A[4] = 1, A[5] = 3, B[4] = 23, B[5] = 56, max(A[4], A[5]) < min( B[4], B[5])

索引为[4,5]（含），最大连续子数组长度为2

我可以用 O(n2) 的蛮力方法做到这一点，但似乎无法降低时间复杂度。有什么想法吗？

Answer 1

这可以在O(n log(n))中解决。

这是我的技术概述。

我的想法看起来像 A 中最大的“上升水位”，跟踪 A 中出现的“岛屿”，以及 B 中淹没的“岛屿”。并记录从 A 出现后或从 B 下沉消失前的最大交点。

我们将需要 A 和 B 区间的 2 个平衡二叉树，以及一个事件优先级队列。

间隔树需要支持对数“查找并包含 i 的 return 间隔（如果存在）”。它还需要支持对数“将 i 添加到树，extending/merging 间隔适当，以及 return 新间隔”。同样，对数“从树中删除 i，根据需要缩短、拆分或删除其间隔”。

事件的形式可以是“删除 B[i]”或“添加 A[i]”。优先级队列首先按元素的大小added/subtracted排序，然后将B放在A之前。（因此，在从 B 中删除所有大小为 x 的元素之前，我们不会将大小为 x 的元素更改为 A。）

考虑到这一点，这里是伪代码如何做到这一点。

Put all possible events in the priority queue
Initialize an empty tree of intervals A_tree
Initialize a tree of intervals B_tree containing the entire range
Initialize max interval to (0, -1) (length 0)

For each event (type, i) in queue:
    if event.type = A:
        new_interval = A_tree.add(event.i)
        
        if event.i in B_tree:
            Intersect event.i's A_tree interval with event.i's B_tree interval
            if intersection is longer than max_interval:
                update to new and better max_interval

    else:
        if event.i in A_tree:
            Intersect event.i's A_tree interval with event.i's B_tree interval
            if intersection is longer than max_interval:
                update to new and better max_interval

        B_tree.remove(event.i)

处理任何事件是O(log(n)。有 2n = O(n) 个事件。所以总时间是 O(n log(n)).

Answer 2

根据问题来看，有2个条件：

max(A[i,j-1]) < min(B[i,j-1])
max(A[i,j]) >= min(B[i,j])
假设maxA是[i,j]中A数组中最大项的索引，minB是[i,j]中B数组中最小项的索引；锚是 min(maxA, minB)

那么我们将有：max(A[i+k,anchor]) >= min(B[i+k,anchor]) ∀ k in [i+1,anchor].

所以我想出了一个简单的算法，如下所示：

    int extractLongestRange(int n, int[] A, int[] B) {
        // n is size of both array
        int size = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            int maxAIndex = i;
            int minBIndex = i;
            for(int j = i; j < n; j++){
                if(A[maxAIndex] < A[j]){
                    maxAIndex = j;
                }
                if(B[minBIndex] > B[j]){
                    minBIndex = j;
                }
                if(A[maxAIndex] >= B[minBIndex]){
                    if(size < j - i){
                        size = j - i;
                    }
                    // here, need to jump back to min of maxAIndex and minBIndex.
                    i = Math.min(maxAIndex, minBIndex);
                    break;
                }
                // this case, if j reach the end of array
                if(j == n - 1){
                    if(size < j - i + 1){
                        size = j - i + 1;
                        i = j;
                    }
                }
            }
        }
        return size; 
}

使用这种方法，复杂度为 O(n)。如果需要，我们可以更改输出以获取其他信息。

Answer 3

O(n)解：

从左向右移动索引j并将i拖到后面，这样window从i到j有效。因此，总是将 j 增加 1，然后根据需要增加 i 以使 window 有效。

为此，保留一个队列 Aq 非递增 A 值的索引。然后 A[Aq[0]] 告诉你 window 中的最大 A 值。同样，为非递减 B 值保留一个队列。

对于每一个新的j，首先根据新的A值和新的B值更新Aq和Bq。然后，当 window 无效时，增加 i 并删除 Aq[0] 和 Bq[0]（如果它们是 i）。当 j 和 i 都更新时，用 window 大小更新结果 j - i - 1.

Python 实施：

def solution(A, B):
    Aq = deque()
    Bq = deque()
    i = 0
    maxlen = 0
    for j in range(len(A)):
        while Aq and A[Aq[-1]] < A[j]:
            Aq.pop()
        Aq.append(j)
        while Bq and B[Bq[-1]] > B[j]:
            Bq.pop()
        Bq.append(j)
        while Aq and A[Aq[0]] >= B[Bq[0]]:
            if Aq[0] == i:
                Aq.popleft()
            if Bq[0] == i:
                Bq.popleft()
            i += 1
        maxlen = max(maxlen, j - i + 1)
    return maxlen

与原始暴力参考解决方案进行比较的测试结果：

expect:  83   result:  83   same: True
expect: 147   result: 147   same: True
expect: 105   result: 105   same: True
expect:  71   result:  71   same: True
expect: 110   result: 110   same: True
expect:  56   result:  56   same: True
expect: 140   result: 140   same: True
expect: 109   result: 109   same: True
expect:  86   result:  86   same: True
expect: 166   result: 166   same: True

测试代码（Try it online!）

from timeit import timeit
from random import choices
from collections import deque
from itertools import combinations

def solution(A, B):
    Aq = deque()
    Bq = deque()
    i = 0
    maxlen = 0
    for j in range(len(A)):
        while Aq and A[Aq[-1]] < A[j]:
            Aq.pop()
        Aq.append(j)
        while Bq and B[Bq[-1]] > B[j]:
            Bq.pop()
        Bq.append(j)
        while Aq and A[Aq[0]] >= B[Bq[0]]:
            if Aq[0] == i:
                Aq.popleft()
            if Bq[0] == i:
                Bq.popleft()
            i += 1
        maxlen = max(maxlen, j - i + 1)
    return maxlen

def naive(A, B):
    return max((j - i + 1
                for i, j in combinations(range(len(A)), 2)
                if max(A[i:j+1]) < min(B[i:j+1])),
               default=0)

for _ in range(10):
    n = 500
    A = choices(range(42), k=n)
    B = choices(range(1234), k=n)
    expect = naive(A, B)
    result = solution(A, B)
    print(f'expect: {expect:3}   result: {result:3}   same: {result == expect}')

算法题：最大的连续子数组选择

Algorithms question: Largest contiguous subarray selection

algorithm

divide-and-conquer