内循环依赖于外循环的嵌套for循环的时间复杂度

Question

我有一个嵌套的 for 循环：

for(i = 0; i < n*n; i++)
   for(j = 0; j <= i/5; j++)
      print("Hello World!");

如何找到这个循环的时间复杂度。

我考虑的是外循环，从0到n^2（不包括），所以它运行了n^2 + 1次。

对于内部循环，它取决于 i，这就是我迷路的地方。有什么指点吗？

Answer 1

几乎总是你可以只插入常识告诉你的数字来构成最坏的情况。除非所说的最坏情况只保证运行固定次数而不管 N（即所有循环都接近最优，除了最多 5 个循环不是，即使我们循环一千次 - 非常rare) - 然后用最坏的情况做数学运算。

就每个单独的循环而言：对每个循环都采取最坏的情况。这是对的，除非循环之间有 link，例如if inner loop 运行s 'worst case' only if some outer loop is guaranteed to 运行 best case, and vice versa - when there are a clear relationship.

所以，让我们在这里应用它：

i 运行s 从 0 到 n*n，这部分很简单。
j 运行s从0到i（我们可以忽略常数因子，所以/5部分是无关紧要的，我们可以忽略它）。

j循环的最坏情况是i等于n*n，这使得j运行从0到n*n。所以我们就用它吧。

这实际上是正确的答案；这是一个运行s 进行 n*n 次迭代的循环（这是 j 循环），并且此过程重复 n*n 次（i 循环），总复杂度为 O(n^4)（哎哟，随着 n 的增长，它会很快下降）。

如果您不确定数学是否有效，请尝试找到线性。这保证了它。在这种情况下，最好的情况是 i 为 0，在这种情况下 j 循环运行s 仅一次，而最坏的情况是 j 循环运行s n*n 次。至关重要的是，j 循环的特征是线性的：只需绘制出第 j 循环的性能相对于第 i 循环的 'lifetime' 的性能变化情况，这是一个简单的直线关系。前 5 j 次循环运行一次，第二 5 j 次循环运行两次，一直到最后 j 次循环运行s n*n/5 次。

所有 j 次循环的 'average' 就是该行的中间：n*n/5 的一半。这是 n*n/10，常数因子无关紧要，所以仍然是 n*n。因此，为什么这是 O(n^4)，与 for (j = 0; j < n*n; j++) 相同。

内循环依赖于外循环的嵌套for循环的时间复杂度

Time complexity of nested for loops where inner loop depends on outer loop

java

big-o

for-loop

time-complexity