在长度等于 P *（元素总和）的数组中查找子数组

Question

我们如何着手测试数组中子数组的所有组合，其中每个子数组的长度等于P乘以子数组元素的总和。

一个简单的例子：编辑：

 A = [2,-1,3,0,1,2,1] , P =2

想要的结果：

长度 = 2,P * 元素总和 = 1。子数组是 [2,-1] , [0,1]

编辑约束：

N represents number of elements in an array
1 <= N <= 1e5
-1000 <= P <= 1000
|A[i]| <= 1e6

这些问题属于什么类型的问题集（eg:NP-hard？）？语言 : C#

Answer 1

这个问题属于P。这是一个 O(n) 解决方案。

让我们用前缀和做一些代数：

j - i = p * (prefix_sum_j - prefix_sum_i)
j - i = p * prefix_sum_j - p * prefix_sum_i
j - p * prefix_sum_j = i - p * prefix_sum_i
p * prefix_sum_j - j = p * prefix_sum_i - i

JavaScript 带有暴力测试的代码。

const f = (nums, p) =>
  nums.reduce(([map, sum, answer], val, i) => {    
    const newSum = sum + val;
    answer += p * newSum == i + 1;
    answer += map[p * newSum - i] || 0;
    map[p * newSum - i] = (map[p * newSum - i] || 0) + 1;
    return [map, newSum, answer];
  }, [{}, 0, 0])[2];


console.log('Input: [2,-1,3,0,1,2,1], 2')
console.log('Output: ' + f([2,-1,3,0,1,2,1], 2));


function bruteForce(A, p){
  let result = 0;

  for (let windowSize=1; windowSize<=A.length; windowSize++){
    for (let start=0; start<A.length-windowSize+1; start++){
      let sum = 0;

      for (let end=start; end<start+windowSize; end++)
        sum += A[end];
      
      if (p * sum == windowSize)
        result += 1;
    }
  }

  return result;
}


var numTests = 500;
var n = 20;
var m = 20;
var pRange = 10;

console.log('\nTesting against brute force...')

for (let i=0; i<numTests; i++){
  const A = new Array(n);
  for (let j=0; j<n; j++)
    A[j] = Math.floor(Math.random() * m) * [1, -1][Math.floor(Math.random()*2)];
  
  const p = Math.floor(Math.random() * pRange) * [1, -1][Math.floor(Math.random()*2)];

  _f = f(A, p);
  _brute = bruteForce(A, p);

  //console.log(String([_f, _brute, p, JSON.stringify(A)]));

  if (_f != _brute){
    console.log('MISMATCH!');
    console.log(p, JSON.stringify(A));
    console.log(_f, _brute);
    break;
  }
}

console.log('Done testing.')

为了帮助读者，函数 f 作为 for 循环可能如下所示：

function f(A, p){
  const seen = {}; // Map data structure
  let sum = 0;
  let result = 0;
  
  for (let i=0; i<A.length; i++){
    sum += A[i];
    result += p * sum == i + 1; // Boolean evaluates to 1 or 0
    result += seen[p * sum - i] || 0;
    seen[p * sum - i] = (seen[p * sum - i] || 0) + 1;
  }
  
  return result;
}

我（第一次）尝试 C# 代码：

using System;
using System.Collections.Generic;

public class Solution{
  static int f(int[] A, int p){
    var seen = new Dictionary<int, int>();
    int sum = 0;
    int result = 0;
  
    for (int i=0; i<A.Length; i++){
      sum += A[i];
      result += Convert.ToInt32( p * sum == i + 1 );

      int key = p * sum - i;

      if (seen.ContainsKey(key)){
        result += seen[key];
        seen[key] += 1;

      } else {
        seen[key] = 1;
      }
    }
  
    return result;
  }


  public static void Main(){
    int[] A = new int[7]{2, -1, 3, 0, 1, 2, 1};
    int p = 2;

    Console.WriteLine(f(A, p));
  }
}

Answer 2

我尝试使用动态规划来解决这个问题。在我的解决方案中，我使用了 2 个嵌套的 for 循环来制作 dp 矩阵，因此它的时间复杂度应该为 O(n^2)（不包括用于打印解决方案的 3 个嵌套的 for 循环）。由于这个问题可以使用蛮力法以及在多项式时间内使用动态规划来解决，因此它具有 P 复杂性。

using System;

public class Program
{
    public static void Main()
    {
        int n = 7;
        int p = 2;
        int[, ] arr = new int[n + 1, n + 1];
        int[] nums = new int[]{2, -1, 3, 0, 1, 2, 1};
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = i; j <= n; j++)
            {
                arr[i, j] = arr[i - 1, j - 1] + nums[j - 1];
            }
        }

        for (int j = 0; j <= n; j++)
        {
            for (int k = 0; k <= n; k++)
            {
                Console.Write(string.Format("{0} ", arr[j, k]));
            }

            Console.Write(Environment.NewLine);
        }

        Console.Write(Environment.NewLine + Environment.NewLine);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            Console.WriteLine(string.Format("For length {0}:  ", i));
            for (int j = i; j <= n; j++)
            {
                if (p * arr[i, j] == i)
                {
                    Console.Write(string.Format("{0} {1}: ", (j - i + 1), j));
                    for (int k = j - i + 1; k <= j; k++)
                    {
                        Console.Write(string.Format("{0},", nums[k - 1]));
                    }

                    Console.Write(Environment.NewLine);
                }
            }

            Console.Write(Environment.NewLine);
        }

        Console.Write(Environment.NewLine);
    }
}

您可以在 dotnetfiddle 上测试此代码（这是我编写的第一个 c# 代码，因此也许可以在代码中进行更多优化）。

在长度等于 P *（元素总和）的数组中查找子数组

Finding subarrays in an array where length equals P * (sum of elements)

c#

algorithm

combinations

dynamic-programming