如何校正 3D 平面多边形？

Question

我有一个 3D 平面（所有顶点都位于某个平面内）多边形，其顶点为：[(x1, y1, z1) ... (x1, y1, z1)]。

我想转换这个多边形，以便我可以正交地查看它（就像我在直视它一样）。

如何在 Python 中完成？

Answer 1

我假设你除了顶点坐标之外没有其他信息。

取三个非共线（可能是后续）顶点C, A, B。计算归一化向量（除以向量长度）

b = (B - A) / |B - A|

然后法向量（使用vector/cross乘法）

N = b.cross.(A-C) and normalize it
un = N / |N|

和多边形平面中的另一个单位向量

v = b.cross.n

现在我们要找到这样的仿射变换矩阵，将顶点 A 变换为点 (0,0,0)，边 AB 将与 OX 轴共线，法线将与 OZ 轴共线，矢量 q 将与 OY 轴共线。这一切都意味着旋转的多边形将位于 OXY 平面内。

数学上：点 A, u=A+b, v=A+q, n=A+un 应转换为四元组 (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)。矩阵形式

      [Ax ux vx nx]   [0 1 0 0]
 M *  [Ay uy vy ny] = [0 0 1 0]
      [Az uz vz nz]   [0 0 0 1]
      [1  1  1  1 ]   [1 1 1 1]

或

  M * S = D

使用矩阵求逆

  M * S * Sinv = D * Sinv

最后

  M = D * Sinv

因此计算矩阵 M 并将其与每个顶点坐标相乘。新坐标应具有零 Z 分量（或由于数值错误而非常小）。

您可以使用 numpy 库执行所有描述的操作，只需一点代码

简单的快速实现Python供参考

import math
def calcMatrix(ax, bx, cx, ay, by, cy, az, bz, cz):
    ux, uy, uz = bx - ax, by - ay, bz - az
    mag = math.sqrt(ux*ux+uy*uy +uz*uz)
    ux, uy, uz = ux / mag, uy / mag, uz / mag
    Cx, Cy, Cz = ax - cx, ay - cy, az - cz
    nx, ny, nz = uy * Cz - uz * Cy, uz * Cx - ux * Cz, ux * Cy - uy * Cx
    mag = math.sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz)
    nx, ny, nz = nx / mag, ny / mag, nz / mag
    vx, vy, vz = uy * nz - uz * ny, uz * nx - ux * nz, ux * ny - uy * nx
    denom = 1.0 / (ux*ux+uy*uy + uz*uz)
    M = [[0.0]*4 for _ in range(4)]
    M[3][3] = 1.0

    M[0][0] = denom*(ux)
    M[0][1] = denom*(uy)
    M[0][2] = denom*(uz)
    M[0][3] = denom*(-ax*ux-ay*uy+az*uz)

    M[1][0] = denom*(vx)
    M[1][1] = denom*(vy)
    M[1][2] = denom*(vz)
    M[1][3] = -denom*(ax*vx-ay*vy+az*vz)

    M[2][0] = denom*(nx)
    M[2][1] = denom*(ny)
    M[2][2] = denom*(nz)
    M[2][3] = denom*(-ax*nx-ay*ny+az*nz)

    return M

def mult(M, vec):
    res = [0]*4
    for k in range(4):
        for i in range(4):
            res[k] += M[k][i] * vec[i]
    return res

#test corners and middle point
M = calcMatrix(1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1)
#print(M)
p = [1, 0, 0, 1]
print(mult(M, p))
p = [0, 1, 0, 1]
print(mult(M, p))
p = [0, 0, 1, 1]
print(mult(M, p))
p = [1/3, 1/3, 1/3, 1]
print(mult(M, p))

测试结果：

[0.0, 0.0, 0.0, 1.0]
[1.4142135623730951, 0.0, 0.0, 1.0]
[0.7071067811865476, 1.2247448713915892, 0.0, 1.0]
[0.7071067811865476, 0.4082482904638631, 1.1102230246251565e-16, 1.0]

Answer 2

通过两个非平行边之间的叉积，找到多边形的法线 n。将 n 与垂直向量进行叉积，得到水平向量 u。然后取 n 和 u 的叉积得到 v，并对向量进行归一化。 u 和 v 平行于多边形的平面并且彼此正交。

最后，对于每个顶点 p 计算 2D 坐标 (p.u, p.v)，它会显示平面中的多边形。

numpy 提供 cross 和 dot 向量函数。还有 linalg.norm（或 sqrt(dot(v, v))）。

Answer 3

这是使用 NumPy 的可靠方法（project()；其余为测试代码）。

import numpy
import scipy.spatial


def project(x):
    # Center the plane on the origin
    x = x - numpy.mean(x, axis=0)
    # Compute the Singular Value Decomposition
    u, s, v = numpy.linalg.svd(x)
    # Return the top two principal components
    return u[:, :2] @ numpy.diag(s[:2])


def test():
    n = 10
    x = (numpy.random.rand(n, 2) @ numpy.random.rand(2, 3)) + numpy.random.rand(3)
    y = project(x)
    print(x.shape, y.shape)
    print(
        numpy.max(
            numpy.abs(
                scipy.spatial.distance_matrix(x, x)
                - scipy.spatial.distance_matrix(y, y)
            )
        )
    )


if __name__ == "__main__":
    test()

示例输出：

(10, 3) (10, 2)
5.551115123125783e-16

如何校正 3D 平面多边形？

How do you rectify a 3D planar polygon?

algorithm

computational-geometry