如何使用 Python 求解常微分方程变量值

Question

我是 SciPy.org 数学库的新手，所以对于熟悉它们的人来说，这可能是一个相当基本的问题。

对于这个 ODE：

y'(t) - 0.05y(t) = d, y(0) = 10

如果 y(10) = 100，我如何计算 'd' 的值？

我可以这样求解 y(t):

import sympy as sym
y = sym.Function('y')
t, d = sym.symbols('t d')
y1 = sym.Derivative(y(t), t)
eqdiff = y1 - 0.05*y(t) - d
sol = sym.dsolve(eqdiff, y(t), ics={y(0): '10'})
sol

y(t)= −20.0d + (20.0d + 10.0)e^(0.05t)

我不知道当 y(10) = 100 时“sol”是否可用于求解 d（SymPy 可能不是为此选择的库）。

我查看了很多网页来寻找想法，但没有找到前进的方向：

https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/ode.html

https://apmonitor.com/pdc/index.php/Main/SolveDifferentialEquations

我知道有图形方法可以解决这个问题，但我想要一个数字结果。

提前感谢您提供有用的建议。

Answer 1

您可以替换值并使用 solve:

In [5]: sol.subs(t, 10)
Out[5]: y(10) = 12.9744254140026⋅d + 16.4872127070013

In [6]: sol.subs(t, 10).subs(y(10), 100)
Out[6]: 100 = 12.9744254140026⋅d + 16.4872127070013

In [7]: solve(sol.subs(t, 10).subs(y(10), 100), d)
Out[7]: [6.43672337141557]

https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/solvers.html#sympy.solvers.solvers.solve

Answer 2

你也可以用scipy来解决。整个任务是一个带自由参数的边值问题，一个状态维加上一个自由参数等于两个边界槽。所以使用solve_bvp（即使是标量问题，求解器也会将每个状态space视为向量space）

def eqn(t,y,d): return d+0.05*y

def bc(y0,y10,d): return [ y0[0]-10, y10[0]-100 ]

x_init = [0,10]
y_init = [[10, 100]]
d_init = 1

res = solve_bvp(eqn, bc, x_init, y_init, p=[d_init], tol=1e-5)
print(res.message, f"d={res.p[0]:.10f}")

这给出了

The algorithm converged to the desired accuracy. d=6.4367242595

如何使用 Python 求解常微分方程变量值

How to solve for an ordinary differential equation variable value using Python

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scipy

sympy

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