Haskell Monad 法则如何从 Monoid 法则推导出来？
How are Haskell Monad laws derived from Monoid laws?
内函子类别中幺半群的定律是：
Haskell monad 定律是：
左身份：return a >>= k = k a
正确身份：m >>= return = m
关联性：m >>= (\x -> k x >>= h) = (m >>= k) >>= h
我假设后者是从前者派生出来的，但怎么会这样呢？图表基本上说
join (join x) = join (fmap join x)
join (return x) = x
join (fmap return x) = x
这些如何等同于 Haskell monad 法则？
用 the Kleisli composition operator (>=>).
来表述单子法则
假设k :: a -> m b、k' :: b -> m c、k'' :: c -> m d（即k、k'、k''是克莱斯利箭头）
- 左身份：
return >=> k = k
- 正确身份：
k >=> return = k
- 关联性：
(k >=> k') >=> k'' = k >=> (k' >=> k'')
从(>=>)的定义可以比较直接的看出这些和你写的是等价的。而且你不需要任何花哨的图表或任何东西：这些是字面意思幺半群法则，return作为标识，(>=>)作为你的幺半群操作。
您在图片中显示的图表是对 monad 的另一种思考方式。您可以根据自然变换（即 join 和 return）或组合（即 return 和 (>>=) / (>=>)）等效地定义 monad。后一种方法适用于您正在寻找的幺半群思维方式。
为了从 join-monad 法则中显示 >>=-monad 法则，需要根据乘法 (join)、单位 ( return) 和函子性 (fmap)，所以根据定义，我们需要让
(x >>= y) = join (fmap y x)
左恒等式
左恒等式则变为
return a >>= k = k a
根据>>=的定义，相当于
join (fmap k (return a)) = k a
现在，return 是一个自然变换 I -> T（其中 I 是恒等函子），所以 fmap_T k . return = return . fmap_I k = return . k。我们将定律简化为：
join (return (k a)) = k a
这遵循 join 法律。
对等式法
正确的身份法则
m >>= return = m
根据 >>= 的定义减少到：
join (fmap return m) = m
这正是 join 法则之一。
结合律留给你证明。它应该遵循使用相同的工具（join 法则、自然性、函数性）。
内函子类别中幺半群的定律是：
Haskell monad 定律是：
左身份：return a >>= k = k a
正确身份：m >>= return = m
关联性：m >>= (\x -> k x >>= h) = (m >>= k) >>= h
我假设后者是从前者派生出来的，但怎么会这样呢？图表基本上说
join (join x) = join (fmap join x)
join (return x) = x
join (fmap return x) = x
这些如何等同于 Haskell monad 法则？
用 the Kleisli composition operator (>=>).
假设k :: a -> m b、k' :: b -> m c、k'' :: c -> m d（即k、k'、k''是克莱斯利箭头）
- 左身份：
return >=> k = k - 正确身份：
k >=> return = k - 关联性：
(k >=> k') >=> k'' = k >=> (k' >=> k'')
从(>=>)的定义可以比较直接的看出这些和你写的是等价的。而且你不需要任何花哨的图表或任何东西：这些是字面意思幺半群法则，return作为标识，(>=>)作为你的幺半群操作。
您在图片中显示的图表是对 monad 的另一种思考方式。您可以根据自然变换（即 join 和 return）或组合（即 return 和 (>>=) / (>=>)）等效地定义 monad。后一种方法适用于您正在寻找的幺半群思维方式。
为了从 join-monad 法则中显示 >>=-monad 法则，需要根据乘法 (join)、单位 ( return) 和函子性 (fmap)，所以根据定义，我们需要让
(x >>= y) = join (fmap y x)
左恒等式
左恒等式则变为
return a >>= k = k a
根据>>=的定义，相当于
join (fmap k (return a)) = k a
现在，return 是一个自然变换 I -> T（其中 I 是恒等函子），所以 fmap_T k . return = return . fmap_I k = return . k。我们将定律简化为：
join (return (k a)) = k a
这遵循 join 法律。
对等式法
正确的身份法则
m >>= return = m
根据 >>= 的定义减少到：
join (fmap return m) = m
这正是 join 法则之一。
结合律留给你证明。它应该遵循使用相同的工具（join 法则、自然性、函数性）。