矩阵的等级与独立列的数量相矛盾
Rank of matrix contradicts the number of independent columns
我有一个 50x49 矩阵 A，它有 49 个线性独立的列。然而，我的软件（octave）告诉我它的排名是 44:
是不是计算错误？如果是这样，那么如何防止此类错误？
如果软件能够正确计算rref(A)，那么为什么会失败并显示rank(A)？这是否意味着计算 rank(A) 比计算 rref(A) 更容易出错，反之亦然？我的意思是 rref(A) 实际上告诉你排名，但这里有一个矛盾。
P.S。我已经检查过，Python 犯了同样的错误。
编辑 1：这是 matrix A 本身。给出了前 9 列。其余的是用多项式特征得到的。
编辑 2：我发现了类似的问题。这是排名 10 的 10x10 matrix B（八度正确计算其排名）。但是，octave 说 rank(B * B) = 9 这是不可能的。
可逆矩阵（即满秩）和不可逆矩阵之间的区别在理论上是明确的，但在实践中并非如此。矩阵 B 大 condition number (as in your example) can be inverted, but computing the inverse is numerically unstable. It roughly corresponds to B having a determinant that is "small" (using an appropriate, relative measure of "small"), so the matrix is almost singular. As a result, the inverse matrix will be computed with bad accuracy. In your example B, the condition number (computed with cond) 是 2.069e9.
另一种看待这个问题的方法是：当条件数很大时，B 很可能是“真正的”奇异的，但是之前计算中的小数值错误使它看起来几乎不是非奇异的.所以你不能确定。
rank 和 rref 函数使用不同的算法（rank, Gauss-Jordan elimination with partial pivoting for rref 的奇异值分解）。对于行为良好的矩阵，两种情况下的数值误差都将很小，并且结果将是一致的。但是对于条件不好的矩阵，数值误差会很大，并且在每种情况下都可能不同，从而给出不一致的结果。
这是一个众所周知的数值代数问题。一般情况下，避免求大条件数的矩阵。
我有一个 50x49 矩阵 A，它有 49 个线性独立的列。然而，我的软件（octave）告诉我它的排名是 44:
是不是计算错误？如果是这样，那么如何防止此类错误？
如果软件能够正确计算
rref(A)，那么为什么会失败并显示rank(A)？这是否意味着计算rank(A)比计算rref(A)更容易出错，反之亦然？我的意思是rref(A)实际上告诉你排名，但这里有一个矛盾。
P.S。我已经检查过，Python 犯了同样的错误。
编辑 1：这是 matrix A 本身。给出了前 9 列。其余的是用多项式特征得到的。
编辑 2：我发现了类似的问题。这是排名 10 的 10x10 matrix B（八度正确计算其排名）。但是，octave 说 rank(B * B) = 9 这是不可能的。
可逆矩阵（即满秩）和不可逆矩阵之间的区别在理论上是明确的，但在实践中并非如此。矩阵 B 大 condition number (as in your example) can be inverted, but computing the inverse is numerically unstable. It roughly corresponds to B having a determinant that is "small" (using an appropriate, relative measure of "small"), so the matrix is almost singular. As a result, the inverse matrix will be computed with bad accuracy. In your example B, the condition number (computed with cond) 是 2.069e9.
另一种看待这个问题的方法是：当条件数很大时，B 很可能是“真正的”奇异的，但是之前计算中的小数值错误使它看起来几乎不是非奇异的.所以你不能确定。
rank 和 rref 函数使用不同的算法（rank, Gauss-Jordan elimination with partial pivoting for rref 的奇异值分解）。对于行为良好的矩阵，两种情况下的数值误差都将很小，并且结果将是一致的。但是对于条件不好的矩阵，数值误差会很大，并且在每种情况下都可能不同，从而给出不一致的结果。
这是一个众所周知的数值代数问题。一般情况下，避免求大条件数的矩阵。