在sympy中分离偏微分方程中的变量
Separating variables in partial differential equation in sympy
问题
我正在尝试使用 sympy 分离一个大方程。就是这样：
python代码是
Eq(-m**2*f(τ, ρ, χ) + (2*ρ*sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**2 - 1)*Der
ivative(f(τ, ρ, χ), (ρ, 2)) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (τ, 2))/(1 - ρ**2) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 -
1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (χ, 2))/ρ**2 - sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**2 - 1)**2*(ρ**3*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)**2 + ρ**3/(ρ**2 -
1) - ρ*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ)/(ρ**2*(1 - ρ**2)))/sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)), 0)
这个方程实际上是可分的；写 $f = F * T$，sympy 本身给出了这个
其中，通过在两边除以 f 并乘以 rho 的函数，可以很容易地将 T''/T 带到右侧。
sympy 的作用
我的代码的最小形式是
import sympy as s
m, τ, ρ, χ = s.var('m τ ρ χ')
f, F, T = map(s.Function, 'fFT')
de = s.Eq( the_equation_given_above, 0)
sep_terms = s.pde_separate_mul(de, f(τ, ρ, χ), [F(ρ, χ), T(τ)])
print(sep_terms) # outputs None
输出none。有什么方法可以实现所需的分离？
您可以手动完成一些操作：
In [1]: import sympy as s
...:
...: m, τ, ρ, χ = s.var('m τ ρ χ')
...:
...: f, F, T = map(s.Function, 'fFT')
In [2]: eq = Eq(-m**2*f(τ, ρ, χ) + (2*ρ*sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**2 - 1)*Derivative(f(τ, ρ, χ), (ρ, 2)) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (τ, 2))/(1 - ρ**2) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (χ, 2))/ρ**2 - sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**
...: 2 - 1)**2*(ρ**3*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)**2 + ρ**3/(ρ**2 -1) - ρ*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ)/(ρ**2*(1 - ρ**2)))/sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)), 0)
In [3]: eq
Out[3]:
_______________
_______________ _______________ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 3 ⎛ 2⎞ 3 ⎛ 2⎞⎞
╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ρ ρ⋅⎝1 - ρ ⎠⎟ ∂
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠ ⋅⎜─────────── + ────── - ──────────⎟⋅──(f(τ, ρ, χ))
_______________ _______________ ╱ ───────────── ⋅───(f(τ, ρ, χ)) ╱ ───────────── ⋅───(f(τ, ρ, χ)) ╱ 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂ρ
╱ 2 ⎛ 2⎞ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 2 ╱ 2 2 ╲╱ ρ - 1 ⎜ ⎛ 2 ⎞ ρ - 1 ρ - 1 ⎟
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ∂ ╲╱ ρ - 1 ∂τ ╲╱ ρ - 1 ∂χ ⎝ ⎝ρ - 1⎠ ⎠
2⋅ρ⋅ ╱ ───────────── ⋅──(f(τ, ρ, χ)) + ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠⋅───(f(τ, ρ, χ)) + ───────────────────────────────────── + ───────────────────────────────────── - ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
╱ 2 ∂ρ ╱ 2 2 2 2 2 ⎛ 2⎞
2 ╲╱ ρ - 1 ╲╱ ρ - 1 ∂ρ 1 - ρ ρ ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
- m ⋅f(τ, ρ, χ) + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── = 0
_______________
╱ 2 ⎛ 2⎞
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
╱ ─────────────
╱ 2
╲╱ ρ - 1
In [4]: eq2 = eq.lhs.subs(f(τ, ρ, χ), F(ρ, χ)*T(τ)).doit()
In [5]: eq2
Out[5]:
_______________
_______________ _______________ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 3 ⎛ 2⎞ 3 ⎛ 2⎞⎞
╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ρ ρ⋅⎝1 - ρ ⎠⎟ ∂
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ d ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠ ⋅⎜─────────── + ────── - ──────────⎟⋅T(τ)⋅──(F(ρ, χ))
_______________ _______________ ╱ ───────────── ⋅F(ρ, χ)⋅───(T(τ)) ╱ ───────────── ⋅T(τ)⋅───(F(ρ, χ)) ╱ 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂ρ
╱ 2 ⎛ 2⎞ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 2 ╱ 2 2 ╲╱ ρ - 1 ⎜ ⎛ 2 ⎞ ρ - 1 ρ - 1 ⎟
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ∂ ╲╱ ρ - 1 dτ ╲╱ ρ - 1 ∂χ ⎝ ⎝ρ - 1⎠ ⎠
2⋅ρ⋅ ╱ ───────────── ⋅T(τ)⋅──(F(ρ, χ)) + ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠⋅T(τ)⋅───(F(ρ, χ)) + ─────────────────────────────────────── + ─────────────────────────────────────── - ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
╱ 2 ∂ρ ╱ 2 2 2 2 2 ⎛ 2⎞
2 ╲╱ ρ - 1 ╲╱ ρ - 1 ∂ρ 1 - ρ ρ ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
- m ⋅F(ρ, χ)⋅T(τ) + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
_______________
╱ 2 ⎛ 2⎞
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
╱ ─────────────
╱ 2
╲╱ ρ - 1
In [6]: eq3 = expand_mul(eq2 / (F(ρ, χ)*T(τ)))
In [7]: eq3
Out[7]:
2 2 2 2
2 ∂ ∂ d ∂
5 ∂ 3 ∂ ρ ⋅───(F(ρ, χ)) ∂ ∂ ───(F(ρ, χ)) ───(T(τ)) ───(F(ρ, χ))
ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2⋅ρ⋅──(F(ρ, χ)) ρ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2 2
2 ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ dτ ∂χ
- m - ───────────────────────── + ───────────────────────── + ─────────────── + ─────────────── - ───────────────────────── - ──────────── + ──────────────── + ────────────
4 2 4 2 F(ρ, χ) F(ρ, χ) 4 2 F(ρ, χ) 2 2
- ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅T(τ) + T(τ) ρ ⋅F(ρ, χ)
In [8]: lhs, rhs = eq3.as_independent(τ)
In [9]: lhs
Out[9]:
2 2 2
2 ∂ ∂ ∂
5 ∂ 3 ∂ ρ ⋅───(F(ρ, χ)) ∂ ∂ ───(F(ρ, χ)) ───(F(ρ, χ))
ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2⋅ρ⋅──(F(ρ, χ)) ρ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2
2 ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂χ
- m - ───────────────────────── + ───────────────────────── + ─────────────── + ─────────────── - ───────────────────────── - ──────────── + ────────────
4 2 4 2 F(ρ, χ) F(ρ, χ) 4 2 F(ρ, χ) 2
- ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) ρ ⋅F(ρ, χ)
In [10]: rhs
Out[10]:
2
d
───(T(τ))
2
dτ
────────────────
2
- ρ ⋅T(τ) + T(τ)
In [11]: eq4 = Eq( cancel((1-ρ**2)*lhs), cancel((1-ρ**2)*rhs))
In [12]: eq4
Out[12]:
2 2 2 2 2 2
2 4 2 2 6 ∂ 5 ∂ 4 ∂ 3 ∂ 2 ∂ 2 ∂ ∂ ∂ d
m ⋅ρ ⋅F(ρ, χ) - m ⋅ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅───(F(ρ, χ)) - 3⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) + 2⋅ρ ⋅───(F(ρ, χ)) + 4⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) - ρ ⋅───(F(ρ, χ)) - ρ ⋅───(F(ρ, χ)) - ρ⋅──(F(ρ, χ)) + ───(F(ρ, χ)) ───(T(τ))
2 ∂ρ 2 ∂ρ 2 2 ∂ρ 2 2
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂χ ∂χ dτ
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── = ─────────
2 T(τ)
ρ ⋅F(ρ, χ)
问题
我正在尝试使用 sympy 分离一个大方程。就是这样：
python代码是
Eq(-m**2*f(τ, ρ, χ) + (2*ρ*sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**2 - 1)*Der
ivative(f(τ, ρ, χ), (ρ, 2)) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (τ, 2))/(1 - ρ**2) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 -
1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (χ, 2))/ρ**2 - sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**2 - 1)**2*(ρ**3*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)**2 + ρ**3/(ρ**2 -
1) - ρ*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ)/(ρ**2*(1 - ρ**2)))/sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)), 0)
这个方程实际上是可分的；写 $f = F * T$，sympy 本身给出了这个
其中，通过在两边除以 f 并乘以 rho 的函数，可以很容易地将 T''/T 带到右侧。
sympy 的作用
我的代码的最小形式是
import sympy as s
m, τ, ρ, χ = s.var('m τ ρ χ')
f, F, T = map(s.Function, 'fFT')
de = s.Eq( the_equation_given_above, 0)
sep_terms = s.pde_separate_mul(de, f(τ, ρ, χ), [F(ρ, χ), T(τ)])
print(sep_terms) # outputs None
输出none。有什么方法可以实现所需的分离？
您可以手动完成一些操作：
In [1]: import sympy as s
...:
...: m, τ, ρ, χ = s.var('m τ ρ χ')
...:
...: f, F, T = map(s.Function, 'fFT')
In [2]: eq = Eq(-m**2*f(τ, ρ, χ) + (2*ρ*sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**2 - 1)*Derivative(f(τ, ρ, χ), (ρ, 2)) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (τ, 2))/(1 - ρ**2) + sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), (χ, 2))/ρ**2 - sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*(ρ**
...: 2 - 1)**2*(ρ**3*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)**2 + ρ**3/(ρ**2 -1) - ρ*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1))*Derivative(f(τ, ρ, χ), ρ)/(ρ**2*(1 - ρ**2)))/sqrt(-ρ**2*(1 - ρ**2)/(ρ**2 - 1)), 0)
In [3]: eq
Out[3]:
_______________
_______________ _______________ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 3 ⎛ 2⎞ 3 ⎛ 2⎞⎞
╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ρ ρ⋅⎝1 - ρ ⎠⎟ ∂
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠ ⋅⎜─────────── + ────── - ──────────⎟⋅──(f(τ, ρ, χ))
_______________ _______________ ╱ ───────────── ⋅───(f(τ, ρ, χ)) ╱ ───────────── ⋅───(f(τ, ρ, χ)) ╱ 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂ρ
╱ 2 ⎛ 2⎞ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 2 ╱ 2 2 ╲╱ ρ - 1 ⎜ ⎛ 2 ⎞ ρ - 1 ρ - 1 ⎟
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ∂ ╲╱ ρ - 1 ∂τ ╲╱ ρ - 1 ∂χ ⎝ ⎝ρ - 1⎠ ⎠
2⋅ρ⋅ ╱ ───────────── ⋅──(f(τ, ρ, χ)) + ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠⋅───(f(τ, ρ, χ)) + ───────────────────────────────────── + ───────────────────────────────────── - ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
╱ 2 ∂ρ ╱ 2 2 2 2 2 ⎛ 2⎞
2 ╲╱ ρ - 1 ╲╱ ρ - 1 ∂ρ 1 - ρ ρ ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
- m ⋅f(τ, ρ, χ) + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── = 0
_______________
╱ 2 ⎛ 2⎞
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
╱ ─────────────
╱ 2
╲╱ ρ - 1
In [4]: eq2 = eq.lhs.subs(f(τ, ρ, χ), F(ρ, χ)*T(τ)).doit()
In [5]: eq2
Out[5]:
_______________
_______________ _______________ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 3 ⎛ 2⎞ 3 ⎛ 2⎞⎞
╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ρ ρ⋅⎝1 - ρ ⎠⎟ ∂
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ d ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠ ⋅⎜─────────── + ────── - ──────────⎟⋅T(τ)⋅──(F(ρ, χ))
_______________ _______________ ╱ ───────────── ⋅F(ρ, χ)⋅───(T(τ)) ╱ ───────────── ⋅T(τ)⋅───(F(ρ, χ)) ╱ 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂ρ
╱ 2 ⎛ 2⎞ ╱ 2 ⎛ 2⎞ 2 ╱ 2 2 ╱ 2 2 ╲╱ ρ - 1 ⎜ ⎛ 2 ⎞ ρ - 1 ρ - 1 ⎟
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ∂ ╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ∂ ╲╱ ρ - 1 dτ ╲╱ ρ - 1 ∂χ ⎝ ⎝ρ - 1⎠ ⎠
2⋅ρ⋅ ╱ ───────────── ⋅T(τ)⋅──(F(ρ, χ)) + ╱ ───────────── ⋅⎝ρ - 1⎠⋅T(τ)⋅───(F(ρ, χ)) + ─────────────────────────────────────── + ─────────────────────────────────────── - ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
╱ 2 ∂ρ ╱ 2 2 2 2 2 ⎛ 2⎞
2 ╲╱ ρ - 1 ╲╱ ρ - 1 ∂ρ 1 - ρ ρ ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
- m ⋅F(ρ, χ)⋅T(τ) + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
_______________
╱ 2 ⎛ 2⎞
╱ -ρ ⋅⎝1 - ρ ⎠
╱ ─────────────
╱ 2
╲╱ ρ - 1
In [6]: eq3 = expand_mul(eq2 / (F(ρ, χ)*T(τ)))
In [7]: eq3
Out[7]:
2 2 2 2
2 ∂ ∂ d ∂
5 ∂ 3 ∂ ρ ⋅───(F(ρ, χ)) ∂ ∂ ───(F(ρ, χ)) ───(T(τ)) ───(F(ρ, χ))
ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2⋅ρ⋅──(F(ρ, χ)) ρ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2 2
2 ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ dτ ∂χ
- m - ───────────────────────── + ───────────────────────── + ─────────────── + ─────────────── - ───────────────────────── - ──────────── + ──────────────── + ────────────
4 2 4 2 F(ρ, χ) F(ρ, χ) 4 2 F(ρ, χ) 2 2
- ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅T(τ) + T(τ) ρ ⋅F(ρ, χ)
In [8]: lhs, rhs = eq3.as_independent(τ)
In [9]: lhs
Out[9]:
2 2 2
2 ∂ ∂ ∂
5 ∂ 3 ∂ ρ ⋅───(F(ρ, χ)) ∂ ∂ ───(F(ρ, χ)) ───(F(ρ, χ))
ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2⋅ρ⋅──(F(ρ, χ)) ρ⋅──(F(ρ, χ)) 2 2
2 ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂χ
- m - ───────────────────────── + ───────────────────────── + ─────────────── + ─────────────── - ───────────────────────── - ──────────── + ────────────
4 2 4 2 F(ρ, χ) F(ρ, χ) 4 2 F(ρ, χ) 2
- ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅F(ρ, χ) + ρ ⋅F(ρ, χ) ρ ⋅F(ρ, χ)
In [10]: rhs
Out[10]:
2
d
───(T(τ))
2
dτ
────────────────
2
- ρ ⋅T(τ) + T(τ)
In [11]: eq4 = Eq( cancel((1-ρ**2)*lhs), cancel((1-ρ**2)*rhs))
In [12]: eq4
Out[12]:
2 2 2 2 2 2
2 4 2 2 6 ∂ 5 ∂ 4 ∂ 3 ∂ 2 ∂ 2 ∂ ∂ ∂ d
m ⋅ρ ⋅F(ρ, χ) - m ⋅ρ ⋅F(ρ, χ) - ρ ⋅───(F(ρ, χ)) - 3⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) + 2⋅ρ ⋅───(F(ρ, χ)) + 4⋅ρ ⋅──(F(ρ, χ)) - ρ ⋅───(F(ρ, χ)) - ρ ⋅───(F(ρ, χ)) - ρ⋅──(F(ρ, χ)) + ───(F(ρ, χ)) ───(T(τ))
2 ∂ρ 2 ∂ρ 2 2 ∂ρ 2 2
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂χ ∂χ dτ
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── = ─────────
2 T(τ)
ρ ⋅F(ρ, χ)