计算包含矩阵的符号函数的梯度和 Hessian

Question

我有以下功能：

我想用它做几件事：

将其翻译成 SymPy 函数（完成）

x = MatrixSymbol('x', 2, 1)
fx = x.T * MatMul(Matrix([[1, 2], [4, 7]]), x) + x.T * Matrix([3, 5]) + 6*Identity(1)

使用 display() 的输出似乎证实它正在工作：

计算点处的梯度和Hessian:
- 在这一点上我尝试了以下渐变函数：
```
v = list(ordered(fx.free_symbols))
gradient = lambda f, v: Matrix([f]).jacobian(v)
fxd = gradient(fx, v)
```
  然而，这输出 [0, 0] 作为不正确的结果。结果应该是：
- 对于 hessian，我使用 SymPy 的内置函数尝试了以下操作：
```
v = list(ordered(fx.free_symbols))
fxdd = hessian(fx, v)
```
  但是，这个函数给我以下错误：
  
  ShapeError: Matrix size mismatch: (2, 2) + (2, 1)
  
  输出应该是：

所以，我的问题是，第二步的操作如何进行？

Answer 1

你可以用diff得到渐变。我不确定如何在不通过 as_explicit:

的情况下获得 Hessian

In [49]: x = MatrixSymbol('x', 2, 1)
    ...: fx = x.T * MatMul(Matrix([[1, 2], [4, 7]]), x) + x.T * Matrix([3, 5]) + 6*Identity(1)

In [50]: fx.diff(x) # gradient
Out[50]: 
⎡1  2⎤     ⎡1  4⎤     ⎡3⎤
⎢    ⎥⋅x + ⎢    ⎥⋅x + ⎢ ⎥
⎣4  7⎦     ⎣2  7⎦     ⎣5⎦

In [51]: hessian(fx.as_explicit(), x.as_explicit())  # Hessian
Out[51]: 
⎡2  6 ⎤
⎢     ⎥
⎣6  14⎦

计算包含矩阵的符号函数的梯度和 Hessian

Calculating the Gradient and Hessian of a symbolic function containing Matrices

sympy

python-3.x