负 x 的泰勒级数 e^x 的误差

Question

我在使用泰勒级数计算 e^x 时注意到当我们计算负 x 时绝对误差是 large.Is 是因为我们没有足够的精度来计算它？

（我知道为了防止它我们可以使用 e^(-x)=1/e^x）

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double Exp(double x);

int main(void)
{
    double x;
    printf("x="); 
    scanf("%le", &x);

    printf("%le", Exp(x)); 
    return 0;
}

double Exp(double x)
{
    double h, eps = 1.e-16, Sum = 1.0; 
    int i = 2;

    h = x; 

    do
    {
        Sum += h; 
        h *= x / i;
        i++;
    } while (fabs(h) > eps);

    return Sum ; 
}

例如： x=-40 值是 4.24835e-18 但程序给了我 3.116952e-01.The 绝对误差是 ~0.311

x=-50 值是 1.92875e-22 programm 给我 2.041833e+03.The 绝对误差是 ~2041.833

Answer 1

问题是由算法中间阶段的舍入误差引起的。 h 与 40/2 * 40/3 * 40 / 4 * ... 一样快速增长，并且在符号上振荡。 i、h 和 Sum 的 x=-40 连续迭代的值可以在下面找到（为简洁起见省略了一些数据点）：

x=-40
i=2 h=800 Sum=-39
i=3 h=-10666.7 Sum=761
i=4 h=106667 Sum=-9905.67
i=5 h=-853333 Sum=96761
i=6 h=5.68889e+06 Sum=-756572
...
i=37 h=-1.37241e+16 Sum=6.63949e+15
i=38 h=1.44464e+16 Sum=-7.08457e+15
i=39 h=-1.48168e+16 Sum=7.36181e+15
i=40 h=1.48168e+16 Sum=-7.45499e+15
i=41 h=-1.44554e+16 Sum=7.36181e+15
i=42 h=1.37671e+16 Sum=-7.09361e+15
i=43 h=-1.28066e+16 Sum=6.67346e+15
i=44 h=1.16423e+16 Sum=-6.13311e+15
i=45 h=-1.03487e+16 Sum=5.50923e+15
i=46 h=8.99891e+15 Sum=-4.83952e+15
...
i=97 h=-2610.22 Sum=1852.36
i=98 h=1065.4 Sum=-757.861
i=99 h=-430.463 Sum=307.534
...
i=138 h=1.75514e-16 Sum=0.311695
i=139 h=-5.05076e-17 Sum=0.311695
3.116952e-01

总和的峰值幅度为7e15。这就是精度丢失的地方。类型 double 的表示精度约为 1e-16。这给出了大约 0.1 - 1 的预期绝对误差。由于预期和（exp(-40) 的值接近于零，最终绝对误差接近于部分和的最大绝对误差。

对于 x=-50 和的峰值是 1.5e20 由于 double 的有限表示而给出的绝对误差大约 1e3 - 1e4 接近观察到的.

如果不对算法进行重大更改以避免形成这些部分和，则无法解决太多问题。或者，将 exp(-x) 计算为 1/exp(x).

Answer 2

对于负 x，即使在 1.0 + x 的第一个总和中，添加交替的 +/- 项也会产生计算问题，因为最终的总和误差预计与 1.0 的最低有效位一样糟糕或大约 10¹⁶ 中的 1 份。这意味着 x_min 因为 Exp(x_min) == 1.0e-16 是最小有用的计算值（例如 x 大约 -36）

一个简单的解决方案是形成一个好的 Exp(positive_x) 和负值 ...

double Exp(double x) {
  if (x < 0) {
    return 1.0 / Exp(-x);
  }
  ...

一个好的（和简单的）Exp(positive_x) 计算项直到 term + 1.0 仍然是 1.0，因为额外的小项不会显着改变总和。适用于 all x（非常小的错误）除了当结果应该是次正常时可以使用改进。

double my_exp(double x) {
  if (x < 0) {
    return 1.0 / my_exp(-x);
  }
  double sum = 1.0;
  unsigned n = 1;
  double term = 1.0;
  do {
    term *= x / n++;
    sum += term;
    if (!isfinite(term)) {
      return term;
    }
  } while (1.0 != term + 1.0);
  return sum;
}

负 x 的泰勒级数 e^x 的误差

Error of Taylor Series e^x for negative x

c

taylor-series