针对不同理论测试 z3 的相似句子：如何表示自然和复杂
Testing z3' similar sentences against different theories: how to represent naturals and complex
我想看看Z3（在Python中）如何解决不同可判定一阶理论中的“相同”/“相似”句子。 原句如下：
Exists x,y :: forAll (x > -1000) -> (y < x)
因此，对于整数，它将如下所示：
x, y = Ints('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (-1000 < x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
现在，我想测试一个非常相似的句子，但是对于线性有理数，因此，我修改了原来的句子以支持它们：
Exists x,y :: forAll (x > -1000.5) -> (y < x)
这可以编码如下：
x, y = Reals('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (-1000.5 < x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
注意我使用 Reals 因为对于线性片段，有理数和实数基本相同。
此外，为了 表示 非线性实数中的类似问题，我只是在其中一个文字中向 x 添加一个指数（并删除负号，因为我们无法处理虚数）。
Exists x,y :: forAll (x*x > 1000.5) -> (y < x)
也很容易编码：
x, y = Reals('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (1000.5 < x*x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
我的问题来了。想象一下，我想明确地模仿（线性）自然数和（非线性）复数中的类似问题。
对于第一个，我可以简单地删除减号并得到以下内容：
Exists x,y :: forAll (x > 1000) -> (y < x)
编码如下：
x, y = Ints('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (1000 < x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
但是，我只能用Ints编码。我可以用 Nats 做吗？我想使用一个类型 Nat，这样句子 forall X, x>=0 为真。我每次都必须将它添加为公理还是什么？
至于第二个，我把非线性加上负号得到一个复方程：
Exists x,y :: forAll (x*x > -1000.5) -> (y < x)
为了对此进行编码，我使用了 https://leodemoura.github.io/blog/2013/01/26/complex.html 中提供的复数表示法。您可以在下面看到它：
x = Complex('x')
y = Complex('y')
vars = [x,y]
l_1 = (-1000.5 < x*x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
然而，如我所料，看起来我无法比较两个复数（并引发错误 '<' not supported between instances of 'float' and 'ComplexExpr'）。那这句话怎么解呢？
希望我的问题或多或少得到理解。您可以在下面查看摘要：
Theory
State
Linear Natural arithmetic
?????
Linear Integer arithmetic
Achieved
Linear Rational/real arithmetic
Achieved
Nonlinear real arithmetic
Achieved
Nonlinear complex arithmetic
?????
你在这里有几个不同的问题，这些问题都隐藏在叙述中；通常一次只问一个问题会更好。但这似乎是您要问的症结所在：
支持自然色
SMTLib 不支持自然；没有本地类型可以这样做。不幸的是，很难为此目的重用 Int 类型，因为您必须始终断言值是 >= 0，并且每次操作都必须确保结果保持自然。 （减法是这里问题的明显来源。）一般来说，您想要在此处执行的类型称为谓词子类型化，这超出了 SMT 求解器的能力。你最好的选择是像列奥纳多所做的那样对它们进行建模，定义所有操作并坚持使用它们。麻烦，但可行。
自定义类型比较
你关于比较复数的第二个问题：事实上，你不能使用内置的 <、> 等。在你链接的 Leonardo 的博客中，你需要为什么定义一个自定义函数意思是less-than/greater-than，分别调用那些函数。请注意，您可以重载内部 __lt__、__le__、__gt__、__ge__、__eq__ 和 __ne__ 方法；并因此利用使用相同的符号。首先，我建议使用显式方法；因为如果您不小心，超载会使您绊倒。 （由于 Python 绑定的类型极其弱。）
我想看看Z3（在Python中）如何解决不同可判定一阶理论中的“相同”/“相似”句子。 原句如下：
Exists x,y :: forAll (x > -1000) -> (y < x)
因此，对于整数，它将如下所示：
x, y = Ints('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (-1000 < x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
现在，我想测试一个非常相似的句子，但是对于线性有理数，因此，我修改了原来的句子以支持它们：
Exists x,y :: forAll (x > -1000.5) -> (y < x)
这可以编码如下：
x, y = Reals('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (-1000.5 < x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
注意我使用 Reals 因为对于线性片段，有理数和实数基本相同。
此外，为了 表示 非线性实数中的类似问题，我只是在其中一个文字中向 x 添加一个指数（并删除负号，因为我们无法处理虚数）。
Exists x,y :: forAll (x*x > 1000.5) -> (y < x)
也很容易编码：
x, y = Reals('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (1000.5 < x*x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
我的问题来了。想象一下，我想明确地模仿（线性）自然数和（非线性）复数中的类似问题。
对于第一个，我可以简单地删除减号并得到以下内容：
Exists x,y :: forAll (x > 1000) -> (y < x)
编码如下：
x, y = Ints('x y')
vars = [x,y]
l_1 = (1000 < x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
但是，我只能用Ints编码。我可以用 Nats 做吗？我想使用一个类型 Nat，这样句子 forall X, x>=0 为真。我每次都必须将它添加为公理还是什么？
至于第二个，我把非线性加上负号得到一个复方程：
Exists x,y :: forAll (x*x > -1000.5) -> (y < x)
为了对此进行编码，我使用了 https://leodemoura.github.io/blog/2013/01/26/complex.html 中提供的复数表示法。您可以在下面看到它：
x = Complex('x')
y = Complex('y')
vars = [x,y]
l_1 = (-1000.5 < x*x)
l_2 = (y <= x)
phi = Implies(l_1, l_2)
Exists(vars, phi)
然而，如我所料，看起来我无法比较两个复数（并引发错误 '<' not supported between instances of 'float' and 'ComplexExpr'）。那这句话怎么解呢？
希望我的问题或多或少得到理解。您可以在下面查看摘要：
| Theory | State |
|---|---|
| Linear Natural arithmetic | ????? |
| Linear Integer arithmetic | Achieved |
| Linear Rational/real arithmetic | Achieved |
| Nonlinear real arithmetic | Achieved |
| Nonlinear complex arithmetic | ????? |
你在这里有几个不同的问题，这些问题都隐藏在叙述中；通常一次只问一个问题会更好。但这似乎是您要问的症结所在：
支持自然色
SMTLib 不支持自然；没有本地类型可以这样做。不幸的是，很难为此目的重用 Int 类型，因为您必须始终断言值是 >= 0，并且每次操作都必须确保结果保持自然。 （减法是这里问题的明显来源。）一般来说，您想要在此处执行的类型称为谓词子类型化，这超出了 SMT 求解器的能力。你最好的选择是像列奥纳多所做的那样对它们进行建模，定义所有操作并坚持使用它们。麻烦，但可行。
自定义类型比较
你关于比较复数的第二个问题：事实上，你不能使用内置的 <、> 等。在你链接的 Leonardo 的博客中，你需要为什么定义一个自定义函数意思是less-than/greater-than，分别调用那些函数。请注意，您可以重载内部 __lt__、__le__、__gt__、__ge__、__eq__ 和 __ne__ 方法；并因此利用使用相同的符号。首先，我建议使用显式方法；因为如果您不小心，超载会使您绊倒。 （由于 Python 绑定的类型极其弱。）