如何在 Matlab 中反转矩阵矩阵？

Question

问题如下：
我有一组 20 个方程式：

r1 = s1*h1_1 + s2*h1_2 + ... s20*h1_20

r2 = s1*h2_1 + ...

...

r20 = s1*h20_1 + ...

其中 r、s 和 h 是矩阵，* 表示 逐点乘积。它可以改写为矩阵形式 R = H*S。我想求解 S 的这个方程 - 所以我需要计算 inv(H)*R。但是，如果 H 的每个元素都是矩阵，我该如何计算 inv(H) 呢？我不能简单地将这些 较小的矩阵 连接成一个更大的矩阵 H 然后将其反转 - 因为这会给出不同的结果，例如用符号值求逆矩阵 H，然后用 更小的矩阵 代替这些符号值（因为方程组中存在逐点乘积）。

到目前为止，我想出了 1 个解决方案。我将创建具有 20x20 符号值的矩阵 H，我将它求逆，然后我将使用 'subs' 计算得到的逆矩阵的每个单元格。

H = sym('A',[20 20]);
invmat = inv(H) ;
% here I load 400 smaller matrices with appropriate names
invmat_11 = subs(invmat(1,1));

但是这种矩阵的求逆在任何介质 class 计算机上计算起来都太复杂了，所以我从来没有设法运行这段代码。您知道计算矩阵 H 的求逆或直接求解 S 的任何其他方法吗？

有人问我一些简单的例子：考虑等式 R = H*S（S 未知）。假设 H=[A B; C D]，其中 A、B、C、D 是 2x2 矩阵，例如 A = [A11 A12; A21 A22]

并且R和S是2x1矩阵，例如

R = [R1;R2]

为了计算 S，我需要求解 inv(H)*R，象征性地 inv(H) =

[ -D/(B*C - A*D), B/(B*C - A*D)] [ C/(B*C - A*D), -A/(B*C - A*D)]

现在我可以用实数 2x2 矩阵替换 A、B、C 和 D 并计算 H 的求逆：

inv(H) = [H1 H2; H3 H4] 其中

H1 = -D/(B*C - A*D)

这样就构成了inv(H)的计算。现在我需要将 inv(H) 与 R 相乘（求解 S）：

S1 = H1*R1 + H2*R2 S2 = H3*R1 + H4*R2

但请注意，H1到H4和R1到R2都是矩阵，*表示逐点乘积。

Answer 1

我找到了求解这组方程的最佳解法。实际上，这非常简单：只需注意这些方程式可以重写为以下形式：

first_element_of_r1 = first_element_ofs1*first_element_of_h1_1 + ...

这是由于方程中存在分段积。现在 r1 到 r20 矩阵的每个元素都可以在循环（或并行循环）中独立求解。谢谢大家的帮助。

如何在 Matlab 中反转矩阵矩阵？

How to invert a matrix of matrices in Matlab?

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