防止 (GPU) 优化方法(如 gmpy2 和 numba)中的大整数溢出

Preventing overflow of large integers in (GPU) optimized methods such as gmpy2 and numba

我正在尝试在使用 numba 的 JIT 装饰(优化)例程中使用 gmpy2 检查大整数是否是完美平方。这里的例子只是为了说明目的(从理论上讲,这样的方程或者椭圆曲线是可以处理的differently/better)。我的代码似乎溢出了,因为它产生的解决方案并不是真正的解决方案:

import numpy as np
from numba import jit
import gmpy2
from gmpy2 import mpz, xmpz

import time
import sys

@jit('void(uint64)')
def findIntegerSolutionsGmpy2(limit: np.uint64):
    for x in np.arange(0, limit+1, dtype=np.uint64):
        y = mpz(x**6-4*x**2+4)
        if gmpy2.is_square(y):
            print([x,gmpy2.sqrt(y),y])

def main() -> int:
    limit = 100000000
    start = time.time()
    findIntegerSolutionsGmpy2(limit)
    end = time.time()
    print("Time elapsed: {0}".format(end - start))
    return 0

if __name__ == '__main__':
    sys.exit(main())

使用 limit = 1000000000 例程在大约 3 秒内完成。 4 秒。我交给修饰函数的限制不会超过 64 位的无符号整数(这在这里似乎不是问题)。

我读到大整数不能与 numba 的 JIT 优化结合使用(参见示例 here)。

我的问题: 有没有可能在 (GPU) 优化代码中使用大整数?

我现在可以通过以下代码设法避免精度损失:

@jit('void(uint64)')
def findIntegerSolutionsGmpy2(limit: np.uint64):
    for x in np.arange(0, limit+1, dtype=np.uint64):
        x_ = mpz(int(x))**2
        y = x_**3-mpz(4)*x_+mpz(4)
        if gmpy2.is_square(y):
            print([x,gmpy2.sqrt(y),y])

但是通过使用 limit = 100000000 这个 ammended/fixed 例程不再在 4 秒内完成 。现在 912 秒 。很可能我们在精度和速度之间存在无法逾越的鸿沟。

使用 CUDA 它变得更快,即 5 分钟(具有 128GB RAM、Intel Xeon CPU E5-2630 v4、2.20GHz 处理器和两个显卡的机器型号为 Tesla V100,每个 16GB RAM),但我得到了正确的结果,但我又得到了错误的结果。

%%time
from numba import jit, cuda
import numpy as np
from math import sqrt

@cuda.jit
def findIntegerSolutionsCuda(arr):
    i=0
    for x in range(0, 1000000000+1):
        y = float(x**6-4*x**2+4)
        sqr = int(sqrt(y))
        if sqr*sqr == int(y):
            arr[i][0]=x
            arr[i][1]=sqr
            arr[i][2]=y
            i+=1

arr=np.zeros((10,3))
findIntegerSolutionsCuda[128, 255](arr)

print(arr)

错误结果的真正原因很简单,你忘记将x转换为mpz,所以语句x ** 6 - 4 * x ** 2 + 4被提升为np.uint64类型并计算溢出(因为语句中的 xnp.uint64)。修复很简单,只需添加 x = mpz(x):

@jit('void(uint64)', forceobj = True)
def findIntegerSolutionsGmpy2(limit: np.uint64):
    for x in np.arange(0, limit+1, dtype=np.uint64):
        x = mpz(x)
        y = mpz(x**6-4*x**2+4)
        if gmpy2.is_square(y):
            print([x,gmpy2.sqrt(y),y])

您可能还注意到我添加了 forceobj = True,这是为了在启动时抑制 Numba 编译警告。

此修复后一切正常,您不会看到错误的结果。

如果您的任务是检查表达式是否给出严格的平方,那么我决定为您发明并实施另一种解决方案,代码如下。

它的工作原理如下。您可能会注意到,如果一个数是正方形,那么它也是任何数的平方模(取模是 x % N 运算)。

我们可以取任何数字,例如一些素数的乘积,K = 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19。现在我们可以做一个简单的过滤器,计算所有平方模 K,在位向量中标记这个方块,然后检查这个过滤器位向量中有哪些模 K 的数字。

上面提到的过滤器 K(素数的乘积)只留下 1% 的候选方块。我们还可以做第二阶段,对其他素数应用相同的过滤器,例如K2 = 23 * 29 * 31 * 37 * 41。这会将它们过滤掉 3%。总的来说,我们将有 1% * 3% = 0.03% 数量的初始候选人。

经过两次筛选后,只剩下很少的数字需要检查。他们可以很容易地 fast-checked 与 gmpy2.is_square().

过滤阶段可以很容易地包装到 Numba 函数中,正如我在下面所做的那样,这个函数可以有额外的 Numba 参数 parallel = True,这将告诉 Numba 自动 运行 所有 Numpy 操作并行所有 CPU 个核心。

在代码中我使用limit = 1 << 30,这表示要检查的所有x的限制,我使用block = 1 << 26,这表示一次检查多少个数字,在并行 Numba 函数。如果您有足够的内存,您可以将 block 设置得更大,以更有效地占用所有 CPU 个核心。大小 1 << 26 的块大约使用大约 1 GB 的内存。

在将我的想法与过滤结合使用 multi-core CPU 之后,我的代码解决与您的相同任务的速度快了一百倍。

Try it online!

import numpy as np, numba

@numba.njit('u8[:](u8[:], u8, u8, u1[:])', cache = True, parallel = True)
def do_filt(x, i, K, filt):
    x += i; x %= K
    x2 = x
    x2 *= x2;     x2 %= K
    x6 = x2 * x2; x6 %= K
    x6 *= x2;     x6 %= K
    x6 += np.uint64(4 * K + 4)
    x2 <<= np.uint64(2)
    x6 -= x2; x6 %= K
    y = x6
    #del x2
    filt_y = filt[y]
    filt_y_i = np.flatnonzero(filt_y).astype(np.uint64)
    return filt_y_i

def main():
    import math
    gmpy2 = None
    import gmpy2
    
    Int = lambda x: (int(x) if gmpy2 is None else gmpy2.mpz(x))
    IsSquare = lambda x: gmpy2.is_square(x)
    Sqrt = lambda x: Int(gmpy2.sqrt(x))
    
    Ks = [2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19,    23 * 29 * 31 * 37 * 41]
    filts = []
    for i, K in enumerate(Ks):
        a = np.arange(K, dtype = np.uint64)
        a *= a
        a %= K
        filts.append((K, np.zeros((K,), dtype = np.uint8)))
        filts[-1][1][a] = 1
        print(f'filter {i} ratio', round(len(np.flatnonzero(filts[-1][1])) / K, 4))
    
    limit = 1 << 30
    block = 1 << 26
    
    for i in range(0, limit, block):
        print(f'i block {i // block:>3} (2^{math.log2(i + 1):>6.03f})')
        x = np.arange(0, min(block, limit - i), dtype = np.uint64)
        
        for ifilt, (K, filt) in enumerate(filts):
            len_before = len(x)
            x = do_filt(x, i, K, filt)
            print(f'squares filtered by filter {ifilt}:', round(len(x) / len_before, 4))
        
        x_to_check = x
        print(f'remain to check {len(x_to_check)}')
        
        sq_x = []
        for x0 in x_to_check:
            x = Int(i + x0)
            y = x ** 6 - 4 * x ** 2 + 4
            if not IsSquare(y):
                continue
            yr = Sqrt(y)
            assert yr * yr == y
            sq_x.append((int(x), int(yr)))
        print('squares found', len(sq_x))
        print(sq_x)
        
        del x

if __name__ == '__main__':
    main()

输出:

filter 0 ratio 0.0094
filter 1 ratio 0.0366
i block   0 (2^ 0.000)
squares filtered by filter 0: 0.0211
squares filtered by filter 1: 0.039
remain to check 13803
squares found 2
[(0, 2), (1, 1)]
i block   1 (2^24.000)
squares filtered by filter 0: 0.0211
squares filtered by filter 1: 0.0392
remain to check 13880
squares found 0
[]
i block   2 (2^25.000)
squares filtered by filter 0: 0.0211
squares filtered by filter 1: 0.0391
remain to check 13835
squares found 0
[]
i block   3 (2^25.585)
squares filtered by filter 0: 0.0211
squares filtered by filter 1: 0.0393
remain to check 13907
squares found 0
[]

...............................