Python：只有 numpy 的低通滤波器

Question

我需要在 Python 中实现低通滤波器，但我唯一可以使用的模块是 numpy（不是 scipy）。我尝试在信号上使用 np.fft.fft()，然后将所有高于截止频率的频率设置为 0，然后使用 np.fft.ifft()。但是这不起作用，我根本不知道如何应用过滤器。

编辑： 将 np.abs() 更改为 np.real() 后，结果几乎是正确的。但是在频谱图中，振幅比原始和过滤后的参考值小（相差 6dB）。所以看起来并不完全正确。有什么想法可以解决这个问题吗？

我的低通函数应该采用以下参数：

signal: audio signal to be filtered
cutoff_freq: cout off frequency in Hz above which to cut off frequencies
sampling_rate: sampling rate in samples/second

应返回过滤后的信号。

我目前的功能

    def low_pass_filter(adata: np.ndarray, bandlimit: int = 1000, sampling_rate: int = 44100) -> np.ndarray:
        # translate bandlimit from Hz to dataindex according to sampling rate and data size
        bandlimit_index = int(bandlimit * adata.size / sampling_rate)
    
        fsig = np.fft.fft(adata)
        
        for i in range(bandlimit_index + 1, len(fsig)):
            fsig[i] = 0
            
        adata_filtered = np.fft.ifft(fsig)
    
        return np.real(adata_filtered)

Answer 1

我看到@Cris Luengo 的评论已经将您的解决方案发展到正确的方向。您现在遗漏的最后一件事是，您从 np.fft.fft 获得的频谱由前半部分的正频率分量和后半部分的 'mirrored' 负频率分量组成。

如果您现在将 bandlimit_index 之外的所有分量都设置为零，您将消除这些负频率分量。这解释了 6dB 的信号幅度下降，你消除了一半的信号功率（+ 因为你已经注意到每个真实信号都必须具有共轭对称频谱）。 np.fft.ifft 函数文档 (ifft documentation) 很好地解释了预期的格式。它指出：

“输入的顺序应与 fft 返回的顺序相同，即，”

a[0]应该包含零频项，
a[1:n//2] 应该包含 positive-frequency 项，
a[n//2 + 1:] 应包含 negative-frequency 项，从最负频率开始按递增顺序排列。

这基本上就是您必须保持的对称性。因此，为了保留这些组件，只需将 bandlimit_index + 1 -> (len(fsig) - bandlimit_index) 之间的组件设置为零即可。

    def low_pass_filter(adata: np.ndarray, bandlimit: int = 1000, sampling_rate: int = 44100) -> np.ndarray:
        # translate bandlimit from Hz to dataindex according to sampling rate and data size
        bandlimit_index = int(bandlimit * adata.size / sampling_rate)
    
        fsig = np.fft.fft(adata)
        
        for i in range(bandlimit_index + 1, len(fsig) - bandlimit_index ):
            fsig[i] = 0
            
        adata_filtered = np.fft.ifft(fsig)
    
        return np.real(adata_filtered)

或者如果你想要稍微多一些 'pythonic'，你也可以像这样将组件设置为零：

fsig[bandlimit_index+1 : -bandlimit_index] = 0

这里有一个 colab 来演示： https://colab.research.google.com/drive/1RR_9EYlApDMg4jAS2HuJIpSqwg5RLzGW?usp=sharing

Answer 2

实信号的完整 FFT 包含对称的两半。每一半都将包含另一半的反射（纯虚构）复共轭：奈奎斯特之后的一切都不是真实信息。如果您将超过某个频率的所有内容都设置为零，则必须遵守对称性。

这是一个人为设计的信号，以 1kHz 采样，其 FFT：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

t = np.linspace(0, 10, 10000, endpoint=False)
y = np.sin(2 * np.pi * 2 * t) * np.exp(-0.5 * ((t - 5) / 1.5)**2)
f = np.fft.fftfreq(t.size, 0.001)
F = np.fft.fft(y)

plt.figure(constrained_layout=True)

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, y)
plt.title('Time Domain')
plt.xlabel('time (s)')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(np.fft.fftshift(f), np.fft.fftshift(F.imag), label='imag')
plt.xlim([-3, 3])
plt.title('Frequency Domain')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Imginatry Component')

频率轴是这样的：

>>> f
array([ 0. ,  0.1,  0.2, ..., -0.3, -0.2, -0.1])

请注意，除了直流分量 (bin 0) 之外，该轴关于中点是对称的，最高 (奈奎斯特) 频率位于中间。这就是为什么我调用 fftshift 来绘制绘图的原因：它重新排列数组以从最小到最大。

您很可能不需要将输入限制为整数。小数 band_limit 是完全可以接受的。请记住，要将频率转换为索引，您需要乘以大小和采样频率（除以 ram，而不是除以：

def low_pass_filter(data, band_limit, sampling_rate):
    cutoff_index = int(band_limit * data.size / sampling_rate)
    F = np.fft.fft(data)
    F[cutoff_index + 1 : -cutoff_index] = 0
    return np.fft.ifft(F).real

您仍然需要 return 实部分量，因为 FFT 在最低的几位中总会有一些虚部舍入误差。

这是截断高于 2Hz 的样本信号图：

y2 = low_pass_filter(y, 2, 1000)
f2 = np.fft.fftfreq(t.size, 0.001)
F2 = np.fft.fft(y2)

plt.figure(constrained_layout=True)

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, y2)
plt.title('Time Domain')
plt.xlabel('time (s)')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(np.fft.fftshift(f2), np.fft.fftshift(F2.imag), label='imag')
plt.xlim([-3, 3])
plt.title('Frequency Domain')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Imginatry Component')

还记得我们说过纯实数（或纯复数）信号的 FFT 只有一半包含 non-redundant 信息吗？ Numpy 尊重这一点，并提供 np.fft.rfft, np.fft.irfft, np.fft.rfftfreq 来处理 real-values 信号。您可以使用它来编写一个更简单版本的过滤器，因为不再有对称约束。

def low_pass_filter(data, band_limit, sampling_rate):
     cutoff_index = int(band_limit * data.size / sampling_rate)
     F = np.fft.rfft(data)
     F[cutoff_index + 1:] = 0
     return np.fft.irfft(F, n=data.size).real

唯一需要注意的是，我们必须显式地将 n 传递给 irfft，否则无论输入大小如何，输出大小将始终为偶数。

Python：只有 numpy 的低通滤波器

Python: Lowpass Filter with only numpy

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fft

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