计算循环中迭代次数的公式说明

Question

total iterations = (end - start + incr)/incr; // for <=
total iterations = (end - start  + incr - 1)/incr; // for <

我已经针对不同类型的 for 循环测试了这两个公式和每个公式的不同版本。我知道它们是如何工作的，但我不明白它们是如何制作的。

为什么总迭代次数=（结束值减去起始值+增量）/（除以增量）

为什么以及如何以这种方式选择和使用这些值来计算迭代次数。它们之间有什么联系？公式是怎么推导出来的？

Answer 1

我们先来看一下使用<=:

的循环

for (int i = start; i <= end; i += incr)

让我们看看每次迭代时 i 的值：

Iteration	value of i
1	start
2	start + incr
3	start + 2*incr
4	start + 3*incr
...	...
n	start + (n-1)*incr

情况 A. i 等于 end

如果end恰好是第二列中的一个值，例如end == start + k*incr对于某些k，那么我们可以看到迭代次数是k+1.

所以我们现在有以下规则：

如果end对于某个整数k可以写成start + k*incr，那么迭代次数是k+1所以我们可以写成：

end == start + (numIterations - 1)*incr

相当于说：

numIterations = (end - start) / incr + 1

或者：

numIterations = (end - start + incr) / incr

情况 B：i 永远不会等于 end

在这种情况下，没有满足 end == start + k*incr 的整数 k。我们可以 找到 end < start + k*incr 的最大 k。换句话说，有一个正 remainder < incr 这样 end == start + k*incr + remainder.

我们重复上一点的逻辑，但是non-zero余数：

end == start + (numIterations - 1)*incr + remainder

相当于说：

numIterations = (end - start - remainder) / incr + 1

或者：

numIterations = (end - start - remainder + incr) / incr

当/表示整数除法时，我们不必减去那个分子中的remainder。整数除法将排除实数除法所得到的小数部分。所以我们可以简化为：

numIterations = (end - start + incr) / incr

我希望这能解释 <= end 循环的情况。

循环 < end

当循环变量不能等于end，最多等于end-1，那么我们将这种情况转化为条件为<= end - 1的循环。是等价的。

然后通过将 end 替换为 end-1 来应用上面的公式，我们得到您提供的公式的第二种形式。