使用 C# 求三次方程的根时遇到问题

Question

最近我和小伙伴们决定做一个多功能计算器来自动求二次方程的根。毕竟这并不是那么具有挑战性，所以我们决定进入下一个阶段，为三次方程制作一个计算器。

(ax^3 + bx^2 + cx + d)

然而，我们遇到了一些小问题，无论我们怎么努力，结果还是一样。我们是编码方面的初学者，所以我们不确定我们是否真的在这里犯了一些愚蠢的错误但至少我们想向别人学习一些东西。

基本上，我们尝试了很多不同三次方程的组合，甚至重新编码了整个东西。问题是我们得到的结果总是错误的，但只针对二阶根和三阶根的实部。

为了更好的理解，我们尝试了9x^3 + 8x^2 + 7x + 6，作为例子。
根据三次方程式计算器网站，正确答案是

(The website)

First root = -0.87285
Second root = -0.00802 + 0.87391 i
Third root = -0.00802 - 0.87391 i

然而，我们对这个等式的结果是：

First root = -0.87285
Second root = -0.2963 + 0.87391 i
Third root = -0.2963 + -0.87391 i

很明显只有部分二阶和三阶根是错误的。
我们曾尝试寻找类似的帖子来提供帮助，但这些帖子对我们来说有点太难理解，或者这些问题与我们的问题不一样。
我们期待找到此问题的解决方案和原因。

我们已将求三次方程根的公式分为 5 个部分。 (rootp1-rootp5)
公式按照维基百科三次方程中文版页面中的公式进行编码。
(The formulas)
我们还将根的实部四舍五入为 5 位数。

（有些代码行可能是多余的，但正如我所提到的，我们是编码新手）

代码（C#）：

using System;
using System.Numerics;

namespace ComplexNumbers
{
    public class ComplexNo
    {
        public static void Main()
        {
            Console.WriteLine("Cubic Equation Calculator :");
            Console.Write("Insert first coefficient : ");
            double a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
            Console.Write("Insert second coefficient : ");
            double b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
            Console.Write("Insert third coefficient : ");
            double c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
            Console.Write("Insert constant : ");
            double d = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

                Console.WriteLine(" ");
                Console.WriteLine("Solve for " + a + "x" + "^3 " + b + "x^2 " + c + "x " + d + " :");
                double rootp1 = -(b / (3 * a));
                double rootp2 = (b * c / (6 * Math.Pow(a, 2))) - (Math.Pow(b, 3) / (27 * Math.Pow(a, 3))) - (d / (2 * a));
                double rootp3 = (c / (3 * a)) - (Math.Pow(b, 2) / (9 * Math.Pow(a, 2)));
                Complex root1 = rootp1 + Math.Cbrt(rootp2 + Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3))) +
                                 Math.Cbrt(rootp2 - Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3)));
                Complex rootp4 = new Complex(-1 / 2, Math.Sqrt(3) / 2);
                Complex rootp5 = new Complex(-1 / 2, -(Math.Sqrt(3) / 2));
                Complex root2 = rootp1 + (rootp4 * Math.Cbrt(rootp2 + Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3)))) +
                                 (rootp5 * Math.Cbrt(rootp2 - Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3))));
                Complex root3 = rootp1 + (rootp5 * Math.Cbrt(rootp2 + Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3)))) +
                                 (rootp4 * Math.Cbrt(rootp2 - Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3))));

                Console.WriteLine(" ");
                Console.WriteLine("Results :");
                Console.WriteLine("First Root :");
                string root1rp = Convert.ToString(Math.Round(root1.Real, 5));
                string root1ip = Convert.ToString(Math.Round(root1.Imaginary, 5));
                Console.WriteLine(root1rp + " + " + root1ip + "i");
                Console.WriteLine("Second Root :");
                string root2rp = Convert.ToString(Math.Round(root2.Real, 5));
                string root2ip = Convert.ToString(Math.Round(root2.Imaginary, 5));
                Console.WriteLine(root2rp + " + " + root2ip + "i");
                Console.WriteLine("Third Root :");
                string root3rp = Convert.ToString(Math.Round(root3.Real, 5));
                string root3ip = Convert.ToString(Math.Round(root3.Imaginary, 5));
                Console.WriteLine(root3rp + " + " + root3ip + "i");

                Console.ReadLine();
        }
    }
}

（很抱歉让这个话题这么长而且我的语法不好）

Answer 1

我承认我没有尝试过您的代码，但您的原始计算中可能存在数学转换问题。试试这个：

double rootp2 = ((double)b * (double)c / (6D * Math.Pow(a, 2D))) - (Math.Pow(b, 3D) / (27D * Math.Pow(a, 3D))) - ((double)d / (2D * (double)a));

如果这有所不同，您必须通过其他计算传播类似的更改（将所有变量转换为 (double) 并将内联常量转换为双精度 D）。

Answer 2

问题出在这一行 Complex rootp4 = new Complex(-1 / 2, Math.Sqrt(3) / 2);。 -1/2 使用整数除法计算结果为 0。

此代码有效。

        Console.WriteLine(" ");
        Console.WriteLine("Solve for " + a + "x" + "^3 " + b + "x^2 " + c + "x " + d + " :");
        double minusBover3a = -(b / (3 * a));
        double rootp2 = (b * c / (6 * Math.Pow(a, 2))) - (Math.Pow(b, 3) / (27 * Math.Pow(a, 3))) - (d / (2 * a));
        double rootp3 = (c / (3 * a)) - (Math.Pow(b, 2) / (9 * Math.Pow(a, 2)));

        double bigCubeRootPlus = Math.Cbrt(rootp2 + Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3)));
        double bigCubeRootMinus = Math.Cbrt(rootp2 - Math.Sqrt(Math.Pow(rootp2, 2) + Math.Pow(rootp3, 3)));
        // ** THIS IS THE PROBLEM.  "-1/2" uses integer division, so this complex has 0 for real part
        Complex complexPlus = new Complex(-1.0 / 2, Math.Sqrt(3) / 2);
        Complex complexMinus = new Complex(-1.0 / 2, -(Math.Sqrt(3) / 2));

        Complex root1 = minusBover3a + bigCubeRootPlus + bigCubeRootMinus;
        Complex root2 = minusBover3a + complexPlus * bigCubeRootPlus + complexMinus * bigCubeRootMinus;
        Complex root3 = minusBover3a + complexMinus * bigCubeRootPlus + complexPlus * bigCubeRootMinus;

Answer 3

以下是您的代码的替代方法：

    //  from https://www.daniweb.com/programming/software-development/
    //  code/454493/solving-the-cubic-equation-using-the-complex-struct

    //  algorithm described in
    //  https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#General_cubic_formula
    const int NRoots = 3;

    double SquareRootof3 = Math.Sqrt(3);
    // the 3 cubic roots of 1
    var CubicUnity = new List<Complex>(NRoots)
                { new Complex(1, 0), 
                  new Complex(-0.5, -SquareRootof3 / 2.0), 
                  new Complex(-0.5, SquareRootof3 / 2.0) };
    // intermediate calculations
    double DELTA = 18 * a * b * c * d 
                 - 4 * b * b * b * d 
                 + b * b * c * c 
                 - 4 * a * c * c * c 
                 - 27 * a * a * d * d;
    double DELTA0 = b * b - 3 * a * c;
    double DELTA1 = 2 * b * b * b 
                  - 9 * a * b * c 
                  + 27 * a * a * d;
    Complex DELTA2 = -27 * a * a * DELTA;
    Complex C = Complex.Pow((DELTA1 + Complex.Pow(DELTA2, 0.5)) / 2, 1 / 3.0);

    for (int i = 0; i < NRoots; i++)
    {
        Complex M = CubicUnity[i] * C;
        Complex Root = -1.0 / (3 * a) * (b + M + DELTA0 / M);
        Console.WriteLine();
        Console.WriteLine($"Root {i+1}:");
        Console.WriteLine($"Real      {Root.Real:0.#####}");
        Console.WriteLine($"Imaginary {Root.Imaginary:0.#####}i");
    }

使用 C# 求三次方程的根时遇到问题

Having trouble in finding roots of a cubic equation with C#

c#

math

equation