Pari GP 中的积分基础 nf.zk 与 nfbasis

Question

我一直在使用lmfdb.org的数据库来了解数字字段的整数基础。现在，我想利用 Pari GP 来乘以代数整数。但是，我遇到了一个问题。 Pari GP 在其计算中使用积分基础“nf.zk”，这显然与 lmfdb.org 提供的积分基础“nfbasis(f)”并不总是相同。

例如，我们有以下来自 Pari GP 的代码。

? f = x^3 - x^2 + 2*x + 8
nf = nfinit(f)
nf.zk
%1 = [1, x, 1/2*x^2 - 1/2*x + 1]
? nfbasis(f)
%2 = [1, x, 1/2*x^2 - 1/2*x]

现在，我的问题是：

Answer 1

当我们不厌其烦地用nfinit初始化一个nf结构时，我们会执行预计算以加快后面的工作。这里，nfinit 首先通过调用 nfbasis 计算整数基，其中 returns 是（规范的）HNF 基，然后 LLL-reduces 它相对于 T2 范数。 LLL-reduced 基础通常与 HNF 基础不同，但它通常具有更小的元素。
这种 LLL 缩减可能代价高昂（尤其是当度数很大时），但它确保时间复杂度受域判别式的限制，而不是输入多项式的大小。我相信 lmfdb 中定义数字字段的所有多项式都是运行到 polredabs，这确保它们的系数很小（就字段判别式而言），但 HNF 整数基础可能仍然比 LLL 大得多一。此外，如果代数整数具有较小的 T2 范数，则其在 LLL-reduced 基础上的表达式保证具有较小的系数，而在 HNF 基础上可以具有更大的系数。
在 pari-2.14（尚未发布但可通过 git 或通过 PARI/GP 网站上的夜间快照获得）中，您可以使用 nfinit(, 4) ，它删除了 LLL 减少步骤。这加快了初始化速度，但通常会减慢涉及结果 nf.
的每个操作

? f = x^3 - x^2 + 2*x + 8
? nfinit(f,4).zk
%2 = [1, x, 1/2*x^2 - 1/2*x]

Integral basis nf.zk versus nfbasis in Pari GP